Em uma fábrica de papel, o sistema de transporte de água branca opera com vazão de 72 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. A máquina transfere ao fluido um trabalho específico de 210 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. Considere a massa específica do fluido igual a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Solicita-se:
a) converter a vazão para \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s};
b) calcular a vazão mássica do sistema;
c) determinar a potência útil transferida ao fluido;
d) se a potência no eixo medida for 6,5 \mathrm{~kW}, calcular o rendimento total da máquina.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para não nos perdermos no meio do desespero (tamo junto!).
Dados fornecidos:
  • Vazão volumétrica: \dot{V}=72\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Trabalho específico transferido ao fluido: w=210\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}.
  • Massa específica (densidade) do fluido: \rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Potência no eixo medida: P_{\text{eixo}}=6{,}5\\ \mathrm{kW}.
O enunciado pede:
a) converter \dot{V} para \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s};
b) calcular a vazão mássica \dot{m};
c) determinar a potência útil transferida ao fluido \dot{W}_{\text{útil}}ú;
d) calcular o rendimento total (eficiência) da máquina, usando P_{\text{eixo}}.

Passo 2

Converter a vazão de \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h} para \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Lembrete prático: 1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}. Para converter de \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h} para \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} divide-se por 3600.
Cálculo:
\dot{V} = \frac{72\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}}{3600\\ \mathrm{s}/\mathrm{h}} = \frac{72}{3600}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}
Agora efetuando a divisão:
\dot{V} = 0,02\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Explicação didática curta: dividir por 3600 reduz a unidade de horas para segundos; é a conversão básica de unidades de tempo.

Passo 3

Calcular a vazão mássica \dot{m}.
Fórmula que relaciona vazão volumétrica \dot{V}, densidade \rho e vazão mássica \dot{m}:
\dot{m} = \rho\,\dot{V}.
Explicando as variáveis:
  • \dot{m} é a massa que passa por segundo (unidade \mathrm{kg}/\mathrm{s});
  • \rho é a massa por unidade de volume (unidade \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3});
  • \dot{V} é o volume que passa por segundo (unidade \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}).
Substituindo os valores que temos (peguei \dot{V}=0,02\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} do Passo 2):
\dot{m} = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\times 0,02\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} = 20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
Unidade conferida: \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\times\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}=\mathrm{kg}/\mathrm{s}.

Passo 4

Determinar a potência útil transferida ao fluido \dot{W}_{\text{útil}}ú.
Relação entre trabalho específico w (trabalho por unidade de massa), vazão mássica \dot{m} e potência:
\dot{W}_{\text{útil}} = w\,\dot{m}.ú
Explicando: w tem unidade \mathrm{J}/\mathrm{kg}; multiplicando por \mathrm{kg}/\mathrm{s} obtém-se \mathrm{J}/\mathrm{s}=\mathrm{W} (watts), que é potência.
Substituindo w=210\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg} e \dot{m}=20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}:
\dot{W}_{\text{útil}} = 210\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\times 20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s} = 4200\\ \mathrm{W}.ú
Converter para \mathrm{kW}:
\dot{W}_{\text{útil}} = 4{,}2\\ \mathrm{kW}.ú

Passo 5

Calcular o rendimento total (eficiência) da máquina \eta.
Definição de eficiência (rendimento): relação entre potência útil entregue ao fluido e potência fornecida no eixo:
\eta = \frac{\dot{W}_{\text{útil}}}{P_{\text{eixo}}}.ú
Antes de calcular, alinhar unidades. Já temos \dot{W}_{\text{útil}}=4{,}2\\ \mathrm{kW}ú e P_{\text{eixo}}=6{,}5\\ \mathrm{kW}, então podemos usar kW diretamente.
Cálculo:
\eta = \frac{4{,}2\\ \mathrm{kW}}{6{,}5\\ \mathrm{kW}} = \frac{4{,}2}{6{,}5}\approx 0{,}6461538\ldots
Converter para porcentagem (multiplicar por 100\%):
\eta \approx 64{,}6\\ \%.
Interpretação rápida e motivadora: isso quer dizer que cerca de 64{,}6\% da potência no eixo foi efetivamente transferida ao fluido como trabalho específico; o restante é perda (atrito, aquecimento, etc.). Nada mal, dá pra melhorar, mas tá razoável dependendo do equipamento.

Resposta

a) \dot{V}=0,02\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}
b) \dot{m}=20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}
c) \dot{W}_{\text{útil}}=4{,}2\\ \mathrm{kW}ú
d) \eta \approx 64{,}6\\ \%

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