Uma bomba opera em uma linha de utilidades de uma indústria têxtil com os seguintes dados:
  • vazão útil: 0,020 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
  • altura fornecida ao fluido: 16 m
  • potência no eixo: 4,5 \mathrm{~kW}
Determine:
a) a potência útil hidráulica entregue ao fluido;
b) o rendimento total da bomba;
c) a fração da potência no eixo que não foi convertida em energia útil do fluido.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (peguei todos do enunciado):
  • vazão útil: Q = 0,020\\ \mathrm{m^3/s}
  • altura (head) fornecida ao fluido: H = 16\\ \mathrm{m}
  • potência no eixo (potência fornecida ao eixo da bomba): P_{\text{eixo}} = 4,5\\ \mathrm{kW}
O que o problema pede:
a) a potência útil hidráulica entregue ao fluido;
b) o rendimento total (eficiência) da bomba;
c) a fração da potência no eixo que não foi convertida em energia útil do fluido.
Observação necessária (assunção): o enunciado não informou a densidade do fluido; como se trata de uma linha de utilidades industrial típica, assumimos que é água com densidade \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Usarei g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Fórmula para potência hidráulica útil: a potência útil (ou potência hidráulica) que a bomba entrega ao fluido é dada por
P_{\text{hid}} = \rho\,g\,Q\,H.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a densidade do fluido, em \mathrm{kg/m^3}.
  • g é a aceleração da gravidade, em \mathrm{m/s^2}.
  • Q é a vazão volumétrica, em \mathrm{m^3/s}.
  • H é a altura (head) em metros; representa a energia potencial por unidade de peso que a bomba adiciona ao fluido.
    A unidade resultante de \rho g Q H é watt (W), porque \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m/s^2}\cdot\mathrm{m/s}\cdot\mathrm{m} = \mathrm{kg\,m^2/s^3} = \mathrm{W}.

Passo 3

Calcular a vazão mássica intermédia e em seguida a potência hidráulica com os números:
Primeiro a vazão mássica \dot m = \rho Q:
\dot m = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 0,020\\ \mathrm{m^3/s} = 20\\ \mathrm{kg/s}.
Agora a potência hidráulica:
P_{\text{hid}} = \dot m\,g\,H = 20\\ \mathrm{kg/s}\times 9,81\\ \mathrm{m/s^2}\times 16\\ \mathrm{m}.
Calcule passo a passo:
9,81\times 16 = 156,96,
20\times 156,96 = 3139,2\\ \mathrm{W}.
Convertendo para kW:
P_{\text{hid}} = 3139,2\\ \mathrm{W} = 3,1392\\ \mathrm{kW}\approx 3,14\\ \mathrm{kW}.

Passo 4

Definição de rendimento (eficiência) da bomba e cálculo:
O rendimento total da bomba é a razão entre a potência útil entregue ao fluido e a potência fornecida no eixo:
\eta = \frac{P_{\text{hid}}}{P_{\text{eixo}}}.
Substituindo os valores (usar as mesmas unidades, ambas em kW ou W):
\eta = \frac{3,1392\\ \mathrm{kW}}{4,5\\ \mathrm{kW}} = 0,6976\ldots
Em porcentagem:
\eta \approx 69,76\%\approx 69,8\%.

Passo 5

Fração da potência no eixo que não foi convertida em energia útil do fluido:
Existem duas formas de ver isso — como potência perdida em kW e como fração/porcentagem.
Potência perdida:
P_{\text{perd}} = P_{\text{eixo}} - P_{\text{hid}} = 4,5\\ \mathrm{kW} - 3,1392\\ \mathrm{kW} = 1,3608\\ \mathrm{kW}.
Fração não convertida (decimal):
\text{fração} = 1 - \eta = 1 - 0,6976\ldots = 0,3024\ldotsçã
Em porcentagem:
\text{fração} \approx 30,24\%\approx 30,2\%.çã

Resposta

a) P_{\text{hid}} = 3,1392\\ \mathrm{kW}\approx 3,14\\ \mathrm{kW}
b) \eta = 0,6976\approx 69,8\%
c) \text{fração não convertida} = 0,3024\approx 30,2\%çãã

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