Uma empresa deseja substituir uma bomba por outra mais eficiente em seu sistema de recirculação de água industrial. A bomba atual opera com:
  • potência no eixo: 12 kW
  • rendimento total: 60 \%
A nova bomba proposta manterá a mesma potência útil hidráulica, porém com rendimento total de 75 \%.
Com base nessas informações, determine:
a) a potência útil hidráulica da bomba atual;
b) a potência no eixo requerida pela nova bomba para fornecer a mesma potência útil;
c) a economia de potência, em kW, obtida com a substituição;
d) a economia de energia, em kWh, para uma operação de 20 h por dia.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • potência no eixo da bomba atual: P_{eixo,\;antiga}=12\\ \text{kW};
  • rendimento total da bomba atual: \eta_{antiga}=60\% = 0{,}60;
  • rendimento total da nova bomba: \eta_{nova}=75\% = 0{,}75;
  • a nova bomba deve fornecer a mesma potência útil hidráulica que a atual.
O enunciado pede:
a) a potência útil hidráulica da bomba atual;
b) a potência no eixo requerida pela nova bomba para entregar a mesma potência útil;
c) a economia de potência, em kW, obtida com a substituição;
d) a economia de energia, em kWh, para uma operação de 20\\ \text{h} por dia.

Passo 2

Entendendo o conceito e a fórmula de rendimento (isso é importante para aplicar na prova).
O rendimento total \eta é a razão entre a potência útil hidráulica (o que realmente sai em forma de energia hidráulica) e a potência que entra no eixo do motor. Em fórmula:
\eta = \frac{P_{útil}}{P_{eixo}}.ú
Aqui:
  • \eta é adimensional (por exemplo 0{,}60 para 60\%);
  • P_{útil}ú é a potência útil hidráulica (em kW);
  • P_{eixo} é a potência no eixo (em kW).
Dessa fórmula, isolamos P_{útil}ú:
P_{útil}=\eta\cdot P_{eixo}.ú

Passo 3

Cálculo do item (a): potência útil hidráulica da bomba atual.
Usando \eta_{antiga}=0{,}60 e P_{eixo,\;antiga}=12\\ \text{kW},
P_{útil}=\eta_{antiga}\cdot P_{eixo,\;antiga}=0{,}60\times12\\ \text{kW}.ú
Fazendo a multiplicação:
P_{útil}=7{,}2\\ \text{kW}.ú
Explicação curta: isso significa que, do total de 12\\ \text{kW} fornecidos no eixo, 7{,}2\\ \text{kW} viram trabalho hidráulico útil; o resto é perdido (calor, atrito, etc.).

Passo 4

Cálculo do item (b): potência no eixo requerida pela nova bomba para fornecer a mesma potência útil.
Agora a potência útil desejada é a mesma P_{útil}=7{,}2\\ \text{kW}ú, e o rendimento da nova bomba é \eta_{nova}=0{,}75. Usamos a fórmula invertida para encontrar P_{eixo,\;novo}:
P_{eixo,\;novo}=\frac{P_{útil}}{\eta_{nova}}=\frac{7{,}2\\ \text{kW}}{0{,}75}.ú
Fazendo a divisão:
P_{eixo,\;novo}=9{,}6\\ \text{kW}.
Interpretação: para entregar os mesmos 7{,}2\\ \text{kW} úteis, a nova bomba precisa de apenas 9{,}6\\ \text{kW} no eixo devido ao rendimento melhor.

Passo 5

Cálculo do item (c): economia de potência (diferença de potência no eixo).
A economia de potência é a redução no que precisa ser fornecido ao eixo:
\Delta P = P_{eixo,\;antiga}-P_{eixo,\;novo}=12\\ \text{kW}-9{,}6\\ \text{kW}.
Portanto
\Delta P = 2{,}4\\ \text{kW}.

Passo 6

Cálculo do item (d): economia de energia para operação de 20\\ \text{h} por dia.
Energia economizada por dia é potência economizada multiplicada pelo tempo de operação:
E_{\text{diária}}=\Delta P \times t = 2{,}4\\ \text{kW}\times20\\ \text{h}.á
Fazendo a conta:
E_{\text{diária}}=48\\ \text{kWh}.á
Interpretação: trocando a bomba, a empresa economiza 48\\ \text{kWh} por dia de operação de 20\\ \text{h}.

Resposta

a) 7{,}2\\ \text{kW}
b) 9{,}6\\ \text{kW}
c) 2{,}4\\ \text{kW}
d) 48\\ \text{kWh}

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