Em uma fábrica de parafusos, as máquinas \mathrm{A}, \mathrm{B} e C produzem 25 \%, 35 \% e 40 \% do total, respectivamente. Da produção de cada máquina 5 \%, 4 \% e 2 \%, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que não é defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da máquina B ?

Passo 1

O enunciado dá as porcentagens de produção e as taxas de defeito de cada máquina, e pergunta a probabilidade pedida. Informações fornecidas (vou escrever tudo em forma de probabilidade para ficar claro):
P(A)=0,25,\quad P(B)=0,35,\quad P\text{(C)}=0,40
Taxas de parafusos defeituosos por máquina:
P(D\mid A)=0,05,\quad P(D\mid B)=0,04,\quad P(D\mid C)=0,02.
A pergunta é: escolhido um parafuso ao acaso e sabendo que ele NÃO é defeituoso, qual é a probabilidade de ele ter vindo da máquina B? Em símbolos: calcular P(B\mid N), onde N é o evento “não defeituoso”.

Passo 2

Definimos claramente os eventos e o que cada símbolo significa:
A,B,C
= eventos “o parafuso vem da máquina A, B, C”, respectivamente.
D
= evento “parafuso defeituoso”.
N
= evento “parafuso não defeituoso” (ou seja, N= complemento de D).
As probabilidades dadas significam P(A),P(B),P\text{(C)} e P(D\mid A),P(D\mid B),P(D\mid C). Note que
P(N\mid X)=1-P(D\mid X)
para X\in\{A,B,C\}. Nosso objetivo é calcular
P(B\mid N)=\frac{P(B\cap N)}{P(N)}.

Passo 3

Vou explicar uma ferramenta que vamos usar: a fórmula de probabilidade condicional (a “definição” de P(B\mid N)) e o Teorema de Bayes. A definição é
P(B\mid N)=\frac{P(B\cap N)}{P(N)}.
Para calcular P(N) quando há várias causas (a máquina A, B ou C), usamos a Lei da Probabilidade Total:
P(N)=P(A)P(N\mid A)+P(B)P(N\mid B)+P\text{(C)}P(N\mid C).
Essa fórmula soma as contribuições de cada máquina para o evento “não defeituoso”. É como dizer: a probabilidade de um parafuso não ser defeituoso é a soma das probabilidades de ele vir de cada máquina multiplicada pela probabilidade de não ser defeituoso dada essa máquina.

Passo 4

Calculemos as probabilidades de “não defeituoso” condicionadas a cada máquina:
P(N\mid A)=1-P(D\mid A)=1-0,05=0,95,
P(N\mid B)=1-P(D\mid B)=1-0,04=0,96,
P(N\mid C)=1-P(D\mid C)=1-0,02=0,98.

Passo 5

Agora calculamos as probabilidades conjuntas P(X\cap N)=P(X)\,P(N\mid X) para cada máquina (essas são as “contribuições” no numerador/denominador):
P(A\cap N)=P(A)P(N\mid A)=0,25\cdot 0,95=0,2375,
P(B\cap N)=P(B)P(N\mid B)=0,35\cdot 0,96=0,336,
P(C\cap N)=P\text{(C)}P(N\mid C)=0,40\cdot 0,98=0,392.

Passo 6

Usamos a Lei da Probabilidade Total para P(N):
P(N)=0,2375+0,336+0,392=0,9655.
Agora aplicamos a definição de probabilidade condicional para obter P(B\mid N):
P(B\mid N)=\frac{P(B\cap N)}{P(N)}=\frac{0,336}{0,9655}.

Passo 7

Façamos a divisão (dou o valor numérico arredondado e a interpretação):
\frac{0,336}{0,9655}\approx 0,3480.
Em porcentagem isso é aproximadamente 34,80\%. Intuição: entre todos os parafusos não defeituosos, cerca de 34{,}8\% vieram da máquina B. Nota rápida de checagem: esse valor é razoável porque B produz 35\% do total e tem taxa de defeito parecida com as outras máquinas, então a probabilidade dada a condição “não defeituoso” fica próxima de 35\%.

Resposta

0,348 (aprox.)

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