Em uma fábrica de parafusos, as máquinas
e C produzem
e
do total, respectivamente. Da produção de cada máquina
e
, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que não é defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da máquina
?
Passo 1
O enunciado dá as porcentagens de produção e as taxas de defeito de cada máquina, e pergunta a probabilidade pedida. Informações fornecidas (vou escrever tudo em forma de probabilidade para ficar claro):
Taxas de parafusos defeituosos por máquina:
A pergunta é: escolhido um parafuso ao acaso e sabendo que ele NÃO é defeituoso, qual é a probabilidade de ele ter vindo da máquina
? Em símbolos: calcular
, onde
é o evento “não defeituoso”.
Passo 2
Definimos claramente os eventos e o que cada símbolo significa:
= eventos “o parafuso vem da máquina A, B, C”, respectivamente.
= evento “parafuso defeituoso”.
= evento “parafuso não defeituoso” (ou seja,
complemento de
).
As probabilidades dadas significam e
. Note que
As probabilidades dadas significam
para
. Nosso objetivo é calcular
Passo 3
Vou explicar uma ferramenta que vamos usar: a fórmula de probabilidade condicional (a “definição” de
) e o Teorema de Bayes. A definição é
Para calcular
quando há várias causas (a máquina A, B ou C), usamos a Lei da Probabilidade Total:
Essa fórmula soma as contribuições de cada máquina para o evento “não defeituoso”. É como dizer: a probabilidade de um parafuso não ser defeituoso é a soma das probabilidades de ele vir de cada máquina multiplicada pela probabilidade de não ser defeituoso dada essa máquina.
Passo 4
Calculemos as probabilidades de “não defeituoso” condicionadas a cada máquina:
Passo 5
Agora calculamos as probabilidades conjuntas
para cada máquina (essas são as “contribuições” no numerador/denominador):
Passo 6
Usamos a Lei da Probabilidade Total para
:
Agora aplicamos a definição de probabilidade condicional para obter
:
Passo 7
Façamos a divisão (dou o valor numérico arredondado e a interpretação):
Em porcentagem isso é aproximadamente
. Intuição: entre todos os parafusos não defeituosos, cerca de
vieram da máquina
. Nota rápida de checagem: esse valor é razoável porque
produz
do total e tem taxa de defeito parecida com as outras máquinas, então a probabilidade dada a condição “não defeituoso” fica próxima de
.