Num mercado três construtoras \mathrm{A}, \mathrm{B} e C são responsáveis por 20 \%, 50 \% e 30 \% do volume total de contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada construtora, 4 \%, 5 \% e 2 \%, respectivamente, são contratos futuros em doláres. Um contrato é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ter sido negociado pela construtora A?

Passo 1

O enunciado pede: dado que um contrato escolhido ao acaso é um contrato futuro em dólares, qual a probabilidade de ele ter sido negociado pela construtora A?
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A participação de mercado de \mathrm{A} é \;20\%.
  • A participação de mercado de \mathrm{B} é \;50\%.
  • A participação de mercado de \mathrm{C} é \;30\%.
  • Do volume da construtora \mathrm{A}, \;4\% são contratos futuros em dólares.
  • Do volume da construtora \mathrm{B}, \;5\% são contratos futuros em dólares.
  • Do volume da construtora \mathrm{C}, \;2\% são contratos futuros em dólares.
    O que queremos: \;P(\mathrm{A}\mid D), onde D é o evento “o contrato é futuro em dólares”.

Passo 2

Definição das probabilidades básicas (usando os dados do enunciado). Vou definir eventos e suas probabilidades:
  • Seja \mathrm{A} o evento “contrato veio da construtora A”. Então \;P(\mathrm{A}) = 0,20.
  • Seja \mathrm{B} o evento “contrato veio da construtora B”. Então \;P(\mathrm{B}) = 0,50.
  • Seja \mathrm{C} o evento “contrato veio da construtora C”. Então \;P(\mathrm{C}) = 0,30.
  • Seja D o evento “contrato é futuro em dólares”. As probabilidades condicionais dadas são:
    \;P(D\mid \mathrm{A}) = 0,04,
    \;P(D\mid \mathrm{B}) = 0,05,
    \;P(D\mid \mathrm{C}) = 0,02.

Passo 3

Revisão do conceito necessário: probabilidade condicionada e Teorema de Bayes, de forma bem prática.
  • Probabilidade condicionada \;P(X\mid Y) é a probabilidade de X ocorrer dado que Y ocorreu.
  • O Teorema de Bayes diz como inverter condicionais usando a probabilidade total. Em forma prática:
P(\mathrm{A}\mid D) = \frac{P(D\mid \mathrm{A})\,P(\mathrm{A})}{P(D)}
onde P(D) é a probabilidade total de um contrato ser futuro em dólares, obtida somando as contribuições de cada construtora:
P(D) = P(D\mid \mathrm{A})P(\mathrm{A}) + P(D\mid \mathrm{B})P(\mathrm{B}) + P(D\mid \mathrm{C})P(\mathrm{C}).
Vou aplicar essas fórmulas numericamente no próximo passo.

Passo 4

Calculemos P(D) usando a lei da probabilidade total. Substituindo os valores:
P(D) = 0,04\cdot 0,20 + 0,05\cdot 0,50 + 0,02\cdot 0,30.
Agora faço as multiplicações uma a uma (mostrando passo a passo):
0,04\cdot 0,20 = 0,008,
0,05\cdot 0,50 = 0,025,
0,02\cdot 0,30 = 0,006.
Somando:
P(D) = 0,008 + 0,025 + 0,006 = 0,039.

Passo 5

Agora aplico o Teorema de Bayes para encontrar \;P(\mathrm{A}\mid D). Substituindo:
P(\mathrm{A}\mid D) = \frac{P(D\mid \mathrm{A})P(\mathrm{A})}{P(D)} = \frac{0,008}{0,039}.
Simplificando a fração multiplicando numerador e denominador por 1000:
\frac{0,008}{0,039} = \frac{8}{39}.
Convertendo para decimal (para facilitar interpretação):
\frac{8}{39} \approx 0,20513.
Em porcentagem, isso é aproximadamente \;20,513\%.

Resposta

\dfrac{8}{39}\approx 0,20513 (aprox. 20,513\%)

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