Num mercado três construtoras
e C são responsáveis por
e
do volume total de contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada construtora,
e
, respectivamente, são contratos futuros em doláres. Um contrato é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ter sido negociado pela construtora A?
Passo 1
O enunciado pede: dado que um contrato escolhido ao acaso é um contrato futuro em dólares, qual a probabilidade de ele ter sido negociado pela construtora A?
Informações fornecidas pelo enunciado:
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A participação de mercado de
é . - A participação de mercado de
é . - A participação de mercado de
é . - Do volume da construtora
, são contratos futuros em dólares. - Do volume da construtora
, são contratos futuros em dólares. - Do volume da construtora
, são contratos futuros em dólares.
O que queremos:, onde é o evento “o contrato é futuro em dólares”.
Passo 2
Definição das probabilidades básicas (usando os dados do enunciado). Vou definir eventos e suas probabilidades:
- Seja
o evento “contrato veio da construtora A”. Então . - Seja
o evento “contrato veio da construtora B”. Então . - Seja
o evento “contrato veio da construtora C”. Então . - Seja
o evento “contrato é futuro em dólares”. As probabilidades condicionais dadas são:
,
,
.
Passo 3
Revisão do conceito necessário: probabilidade condicionada e Teorema de Bayes, de forma bem prática.
- Probabilidade condicionada
é a probabilidade de ocorrer dado que ocorreu. - O Teorema de Bayes diz como inverter condicionais usando a probabilidade total. Em forma prática:
onde
é a probabilidade total de um contrato ser futuro em dólares, obtida somando as contribuições de cada construtora:
Vou aplicar essas fórmulas numericamente no próximo passo.
Passo 4
Calculemos
usando a lei da probabilidade total. Substituindo os valores:
Agora faço as multiplicações uma a uma (mostrando passo a passo):
Somando:
Passo 5
Agora aplico o Teorema de Bayes para encontrar
. Substituindo:
Simplificando a fração multiplicando numerador e denominador por
:
Convertendo para decimal (para facilitar interpretação):
Em porcentagem, isso é aproximadamente
.