Em uma fábrica, 5 % dos produtos fabricados são defeituosos. Se selecionarmos aleatoriamente 20 produtos, qual a probabilidade de exatamente 2 serem defeituosos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala que 5% dos produtos fabricados em uma fábrica são defeituosos. A gente precisa descobrir qual a probabilidade, ou seja, a chance, de que exatamente 2 em 20 produtos escolhidos aleatoriamente sejam defeituosos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é um método estatístico que ajuda a calcular probabilidades em situações de “sucesso” ou “fracasso”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes que vamos usar na fórmula da Distribuição Binomial:
  • n: número total de tentativas ou experimentos. Aqui, n = 20 produtos.
  • k: número de sucessos que queremos encontrar a probabilidade. No nosso caso, k = 2 produtos defeituosos.
  • p: probabilidade de sucesso em uma única tentativa. Aqui, p = 5% ou 0,05 (probabilidade de um produto ser defeituoso).
  • q: probabilidade de fracasso, que é 1 - p. Então, q = 0,95.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da Distribuição Binomial:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times q^n-k
Onde $ C(n, k) $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Calculando o coeficiente binomial $ C(20, 2) $:
C(20, 2)

Passo 5

Agora, aplicamos na fórmula:
P(X = 2) = 190 times (0,05)^2 times (0,95)^18
Primeiro, calculamos $ (0,05)^2 = 0,0025 $ e $ (0,95)^{18} \approx 0,377 $.

Passo 6

Multiplicando tudo:
P(X = 2) = 190 times 0,0025 times 0,377 approx 190 times 0,0009425 approx 0,179

Resposta

A probabilidade de exatamente 2 em 20 produtos serem defeituosos é de aproximadamente 17,9%.

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