1. Uma fábrica de semicondutores está analisando a variabilidade no tempo de vida útil de seus chips, medido em anos. Com base em dados históricos, o tempo de vida útil segue uma distribuição lognormal com parâmetros \mu=1,5 e \sigma=0,3.
    a) [0,5 ponto ] Qual é o tempo médio de vida útil dos chips?
    b) [0,75 ponto ] Determine a probabilidade de que um chip dure mais de 7 anos.
    c) [0,75 ponto ] Se a fábrica deseja garantir que 95 \% dos chips tenham uma vida útil superior a um determinado valor, qual deve ser o tempo mínimo garantido?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida útil X, em anos, segue uma distribuição lognormal com parâmetros \mu=1,5 e \sigma=0,3. Para resolver as questões, vamos usar:
  1. A fórmula da média de uma lognormal,
  2. A relação com a normal subjacente Y=\ln X\sim N(\mu,\sigma^2) para calcular probabilidades,
  3. A expressão do quantil de uma lognormal em função do quantil da normal.

Passo 2

Para a média de X usamos
\mathbb{E}[X]=\exp\bigl(\mu+\tfrac{\sigma^{2}}{2}\bigr).
Substituindo \mu=1,5 e \sigma=0,3, temos
\mathbb{E}[X] =\exp\bigl(1,5+\tfrac{0,3^{2}}{2}\bigr) =\exp\bigl(1,5+0,045\bigr) =\exp(1,545)\approx 4,69.

Passo 3

Para \Pr(X>7) note que
\Pr(X>7)=\Pr\bigl(\ln X>\ln 7\bigr) =1-\Phi\!\Bigl(\frac{\ln 7-\mu}{\sigma}\Bigr).
Calculando \ln 7\approx1,9459 e
z=\frac{1,9459-1,5}{0,3}\approx1,4863,
obtém-se
\Pr(X>7)=1-\Phi(1,4863)\approx1-0,9317=0,0683.

Passo 4

Queremos t tal que \Pr(X>t)=0,95, isto é, \Pr(X\le t)=0,05. Seja z_{0,05}=\Phi^{-1}(0,05)\approx-1,6449. Então
\ln t=\mu+\sigma\,z_{0,05} =1,5+0,3\cdot(-1,6449)\approx1,0065,
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t=\exp(1,0065)\approx2,74.

Resposta

a) \displaystyle 4,69 anos.
b) \displaystyle 0,0683 (ou 6{,}83\%).
c) \displaystyle 2,74 anos.

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