Uma fábrica utiliza dois tipos de insumos:
  • A, a um custo unitário C_{A} e com uma quantidade máxima disponível D_{A};
  • B, a um custo unitário C_{B} e com uma quantidade máxima disponível D_{B}.
Esses insumos podem ser processados pelos processos I, II e III, a um custo operacional nulo. Serão produzidos os produtos \alpha, \beta e \gamma, que alcançam preços de venda unitários P_{\alpha}, P_{\beta} e P_{\gamma}, respectivamente.
  • Uma unidade de \mathbf{A} processada em \mathbf{I} produz simultaneamente 5 \alpha e 1 \gamma;
  • Uma unidade de \mathbf{A} junto com duas unidades de \mathbf{B}, processadas em II, produzem simultaneamente 3 \alpha, 9 \beta e 8 \gamma;
  • Uma unidade de B processada em III produz simultaneamente 1 \alpha, 4 \beta e 1 \gamma.
Formule o problema como um modelo de Programação Linear que maximize o lucro total da fábrica, considerando o uso dos insumos disponíveis, seus custos e os preços de venda dos produtos.

Passo 1

O enunciado pede que formulemos um modelo de Programação Linear que maximize o lucro total da fábrica, considerando:
  • os insumos disponíveis e seus custos unitários e quantidades máximas: C_{A}, D_{A} para o insumo A; C_{B}, D_{B} para o insumo B;
  • os processos I, II e III (sem custo operacional) que transformam insumos em produtos;
  • os preços de venda unitários dos produtos: P_{\alpha}, P_{\beta} e P_{\gamma};
  • as receitas obtidas pela venda dos produtos resultantes de cada processo;
  • e as restrições de disponibilidade dos insumos.
Informações relevantes do enunciado (resumidas e explícitas):
  • Processamento I: 1 unidade de A produz simultaneamente 5 unidades de \alpha e 1 unidade de \gamma.
  • Processamento II: 1 unidade de A + 2 unidades de B produzem simultaneamente 3 unidades de \alpha, 9 unidades de \beta e 8 unidades de \gamma.
  • Processamento III: 1 unidade de B produz simultaneamente 1 unidade de \alpha, 4 unidades de \beta e 1 unidade de \gamma.
  • Custos dos insumos: C_{A} por unidade de A usada; C_{B} por unidade de B usada.
  • Disponibilidades máximas: D_{A} unidades de A; D_{B} unidades de B.
  • Preços de venda unitários: P_{\alpha}, P_{\beta}, P_{\gamma}.
O que devemos entregar: um modelo matemático (variáveis, função objetivo para maximizar o lucro e restrições) que represente esse problema.

Passo 2

Escolher as variáveis de decisão (muito importante e simples aqui). Vou definir uma variável para a quantidade de cada processo que eu decido executar, porque cada execução consome insumos e gera produtos na proporção indicada.
Definições:
  • x_{1} = quantidade (em unidades) do processo I executado (cada x_{1} consome 1 unidade de A).
  • x_{2} = quantidade (em unidades) do processo II executado (cada x_{2} consome 1 unidade de A e 2 unidades de B).
  • x_{3} = quantidade (em unidades) do processo III executado (cada x_{3} consome 1 unidade de B).
Observação didática: escolher variáveis que representam “quantidade de processo” é natural quando processos têm entradas fixas por execução. Isso torna as equações lineares e fáceis de montar.

Passo 3

Expressar as quantidades produzidas de cada produto em função das variáveis.
Para \alpha:
  • do processo I: 5 unidades por x_{1} -> contribuição 5x_{1};
  • do processo II: 3 unidades por x_{2} -> contribuição 3x_{2};
  • do processo III: 1 unidade por x_{3} -> contribuição 1x_{3}.
Logo a produção total de \alpha é
\text{produção de }\alpha = 5x_{1} + 3x_{2} + 1x_{3}.çã
Para \beta:
  • do processo I: 0 (nenhuma);
  • do processo II: 9 por x_{2} -> 9x_{2};
  • do processo III: 4 por x_{3} -> 4x_{3}.
Logo
\text{produção de }\beta = 9x_{2} + 4x_{3}.çã
Para \gamma:
  • do processo I: 1 por x_{1} -> 1x_{1};
  • do processo II: 8 por x_{2} -> 8x_{2};
  • do processo III: 1 por x_{3} -> 1x_{3}.
Logo
\text{produção de }\gamma = 1x_{1} + 8x_{2} + 1x_{3}.çã
Didática: note que cada expressão é linear nas variáveis porque cada execução do processo adiciona quantidades fixas de cada produto.

Passo 4

Calcular a receita total (receita = preço unitário vezes quantidade vendida, somando todos os produtos).
Receita de \alpha:
P_{\alpha}\cdot(5x_{1} + 3x_{2} + 1x_{3}).
Receita de \beta:
P_{\beta}\cdot(9x_{2} + 4x_{3}).
Receita de \gamma:
P_{\gamma}\cdot(1x_{1} + 8x_{2} + 1x_{3}).
Somando as três receitas, a receita total R é
R = P_{\alpha}(5x_{1}+3x_{2}+x_{3}) + P_{\beta}(9x_{2}+4x_{3}) + P_{\gamma}(x_{1}+8x_{2}+x_{3}).
Didática: ao montar a receita total, é comum agrupar termos por variável para simplificar depois.

Passo 5

Calcular o custo total dos insumos consumidos (os processos não têm custo operacional, então só pagamos os insumos).
Consumo de A:
  • x_{1} consome 1 unidade de A cada -> x_{1};
  • x_{2} consome 1 unidade de A cada -> x_{2}.
    Total de A usado: x_{1}+x_{2}.
Consumo de B:
  • x_{2} consome 2 unidades de B por execução -> 2x_{2};
  • x_{3} consome 1 unidade de B por execução -> x_{3}.
    Total de B usado: 2x_{2}+x_{3}.
Custo total C é
C = C_{A}(x_{1}+x_{2}) + C_{B}(2x_{2}+x_{3}).
Didática: multiplicamos o preço unitário do insumo pela quantidade total consumida.

Passo 6

Montar a função lucro (objetivo). Lucro = receita total menos custo total.
Usando as expressões anteriores,
\text{Lucro} = R - C.
Vou expandir e agrupar por x_{1},x_{2},x_{3} para obter uma forma padrão linear (cada variável com um coeficiente que representa lucro marginal por unidade de processo):
Coeficiente de x_{1}:
  • receita por x_{1}: 5P_{\alpha} + 1P_{\gamma};
  • custo por x_{1}: 1\cdot C_{A}.
    Logo lucro por unidade de x_{1}: 5P_{\alpha} + P_{\gamma} - C_{A}.
Coeficiente de x_{2}:
  • receita por x_{2}: 3P_{\alpha} + 9P_{\beta} + 8P_{\gamma};
  • custo por x_{2}: 1\cdot C_{A} + 2\cdot C_{B}.
    Logo lucro por unidade de x_{2}: 3P_{\alpha} + 9P_{\beta} + 8P_{\gamma} - (C_{A}+2C_{B}).
Coeficiente de x_{3}:
  • receita por x_{3}: 1P_{\alpha} + 4P_{\beta} + 1P_{\gamma};
  • custo por x_{3}: 1\cdot C_{B}.
    Logo lucro por unidade de x_{3}: P_{\alpha} + 4P_{\beta} + P_{\gamma} - C_{B}.
Portanto a função objetivo (a maximizar) é
\text{Maximize } Z = (5P_{\alpha}+P_{\gamma}-C_{A})x_{1} + (3P_{\alpha}+9P_{\beta}+8P_{\gamma}-C_{A}-2C_{B})x_{2} + (P_{\alpha}+4P_{\beta}+P_{\gamma}-C_{B})x_{3}.
Didática: expressar o objetivo assim mostra imediatamente qual processo rende mais lucro por unidade; se algum coeficiente for negativo, o ótimo vai forçar a variável correspondente a zero (já que todas as variáveis são não negativas).

Passo 7

Escrever as restrições de disponibilidade dos insumos (consumo não pode exceder a disponibilidade máxima).
Restrição de A (disponibilidade D_{A}):
x_{1} + x_{2} \le D_{A}.
Restrição de B (disponibilidade D_{B}):
2x_{2} + x_{3} \le D_{B}.
Além disso, restrições de não negatividade (não faz sentido processar quantidade negativa):
x_{1} \ge 0,\quad x_{2} \ge 0,\quad x_{3} \ge 0.
Didática: cada restrição vem direto do balanço de insumo — soma do que cada processo consome não pode ultrapassar o estoque disponível.

Passo 8

Resumo e observações finais didáticas:
  • Temos um modelo linear (objetivo e restrições lineares).
  • As variáveis x_{1},x_{2},x_{3} são contínuas e não-negativas; se o problema real exigir números inteiros (execuções indivisíveis), deveria-se impor integralidade, mas tipicamente esses modelos permitem frações (por ex. escala de produção contínua).
  • Na prova, para montar esse modelo você deve sempre: 1) definir claramente as variáveis; 2) escrever produção de cada bem como combinação linear das variáveis; 3) montar receita e custo; 4) montar função objetivo como receita menos custo; 5) escrever restrições de recursos; 6) não esquecer das não-negatividades.
  • Pronto — agora só falta apresentar o modelo final de forma compacta (veja a resposta final abaixo).

Resposta

Variáveis: x_{1} = quantidade do processo I; x_{2} = quantidade do processo II; x_{3} = quantidade do processo III.
\text{Maximize } Z = (5P_{\alpha}+P_{\gamma}-C_{A})x_{1} + (3P_{\alpha}+9P_{\beta}+8P_{\gamma}-C_{A}-2C_{B})x_{2} + (P_{\alpha}+4P_{\beta}+P_{\gamma}-C_{B})x_{3}
sujeito a
x_{1} + x_{2} \le D_{A},
2x_{2} + x_{3} \le D_{B},
x_{1} \ge 0,\quad x_{2} \ge 0,\quad x_{3} \ge 0.

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