Uma fábrica utiliza dois tipos de insumos:
- A, a um custo unitário
e com uma quantidade máxima disponível
;
- B, a um custo unitário
e com uma quantidade máxima disponível
.
Esses insumos podem ser processados pelos processos I, II e III, a um custo operacional nulo. Serão produzidos os produtos
e
, que alcançam preços de venda unitários
e
, respectivamente.
- Uma unidade de
processada em
produz simultaneamente
e
;
- Uma unidade de
junto com duas unidades de
, processadas em II, produzem simultaneamente
e
;
- Uma unidade de B processada em III produz simultaneamente
e
.
Formule o problema como um modelo de Programação Linear que maximize o lucro total da fábrica, considerando o uso dos insumos disponíveis, seus custos e os preços de venda dos produtos.
Passo 1
O enunciado pede que formulemos um modelo de Programação Linear que maximize o lucro total da fábrica, considerando:
- os insumos disponíveis e seus custos unitários e quantidades máximas:
, para o insumo A; , para o insumo B; - os processos I, II e III (sem custo operacional) que transformam insumos em produtos;
- os preços de venda unitários dos produtos:
, e ; - as receitas obtidas pela venda dos produtos resultantes de cada processo;
- e as restrições de disponibilidade dos insumos.
Informações relevantes do enunciado (resumidas e explícitas):
- Processamento I: 1 unidade de A produz simultaneamente
unidades de e unidade de . - Processamento II: 1 unidade de A + 2 unidades de B produzem simultaneamente
unidades de , unidades de e unidades de . - Processamento III: 1 unidade de B produz simultaneamente
unidade de , unidades de e unidade de . - Custos dos insumos:
por unidade de A usada; por unidade de B usada. - Disponibilidades máximas:
unidades de A; unidades de B. - Preços de venda unitários:
, , .
O que devemos entregar: um modelo matemático (variáveis, função objetivo para maximizar o lucro e restrições) que represente esse problema.
Passo 2
Escolher as variáveis de decisão (muito importante e simples aqui). Vou definir uma variável para a quantidade de cada processo que eu decido executar, porque cada execução consome insumos e gera produtos na proporção indicada.
Definições:
-
= quantidade (em unidades) do processo I executado (cada consome 1 unidade de A). -
= quantidade (em unidades) do processo II executado (cada consome 1 unidade de A e 2 unidades de B). -
= quantidade (em unidades) do processo III executado (cada consome 1 unidade de B).
Observação didática: escolher variáveis que representam “quantidade de processo” é natural quando processos têm entradas fixas por execução. Isso torna as equações lineares e fáceis de montar.
Passo 3
Expressar as quantidades produzidas de cada produto em função das variáveis.
Para
:
- do processo I:
unidades por -> contribuição ; - do processo II:
unidades por -> contribuição ; - do processo III:
unidade por -> contribuição .
Logo a produção total de
é
Para
:
- do processo I:
(nenhuma); - do processo II:
por -> ; - do processo III:
por -> .
Logo
Para
:
- do processo I:
por -> ; - do processo II:
por -> ; - do processo III:
por -> .
Logo
Didática: note que cada expressão é linear nas variáveis porque cada execução do processo adiciona quantidades fixas de cada produto.
Passo 4
Calcular a receita total (receita = preço unitário vezes quantidade vendida, somando todos os produtos).
Receita de
:
Receita de
:
Receita de
:
Somando as três receitas, a receita total
é
Didática: ao montar a receita total, é comum agrupar termos por variável para simplificar depois.
Passo 5
Calcular o custo total dos insumos consumidos (os processos não têm custo operacional, então só pagamos os insumos).
Consumo de A:
-
consome 1 unidade de A cada -> ; -
consome 1 unidade de A cada -> .
Total de A usado:.
Consumo de B:
-
consome 2 unidades de B por execução -> ; -
consome 1 unidade de B por execução -> .
Total de B usado:.
Custo total
é
Didática: multiplicamos o preço unitário do insumo pela quantidade total consumida.
Passo 6
Montar a função lucro (objetivo). Lucro = receita total menos custo total.
Usando as expressões anteriores,
Vou expandir e agrupar por
para obter uma forma padrão linear (cada variável com um coeficiente que representa lucro marginal por unidade de processo):
Coeficiente de
:
- receita por
: ; - custo por
: .
Logo lucro por unidade de: .
Coeficiente de
:
- receita por
: ; - custo por
: .
Logo lucro por unidade de: .
Coeficiente de
:
- receita por
: ; - custo por
: .
Logo lucro por unidade de: .
Portanto a função objetivo (a maximizar) é
Didática: expressar o objetivo assim mostra imediatamente qual processo rende mais lucro por unidade; se algum coeficiente for negativo, o ótimo vai forçar a variável correspondente a zero (já que todas as variáveis são não negativas).
Passo 7
Escrever as restrições de disponibilidade dos insumos (consumo não pode exceder a disponibilidade máxima).
Restrição de A (disponibilidade
):
Restrição de B (disponibilidade
):
Além disso, restrições de não negatividade (não faz sentido processar quantidade negativa):
Didática: cada restrição vem direto do balanço de insumo — soma do que cada processo consome não pode ultrapassar o estoque disponível.
Passo 8
Resumo e observações finais didáticas:
- Temos um modelo linear (objetivo e restrições lineares).
- As variáveis
são contínuas e não-negativas; se o problema real exigir números inteiros (execuções indivisíveis), deveria-se impor integralidade, mas tipicamente esses modelos permitem frações (por ex. escala de produção contínua). - Na prova, para montar esse modelo você deve sempre: 1) definir claramente as variáveis; 2) escrever produção de cada bem como combinação linear das variáveis; 3) montar receita e custo; 4) montar função objetivo como receita menos custo; 5) escrever restrições de recursos; 6) não esquecer das não-negatividades.
- Pronto — agora só falta apresentar o modelo final de forma compacta (veja a resposta final abaixo).
Resposta
Variáveis:
= quantidade do processo I;
= quantidade do processo II;
= quantidade do processo III.
sujeito a