Uma empresa produz ligas metálicas ao longo de três períodos, considerando custos de produção e de manutenção de estoque.
Período Demanda Liga 1 (ton) Custo Produção (R$/ton) Custo Estoque (R$/ton)
1 1,3 1720 230
2 2,0 1690 200
3 2,5 1950 -
Determinar o programa de produção que minimize o custo total, considerando produção e estoque, ao longo dos três períodos.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o programa de produção (quantidade a produzir em cada período) que minimize o custo total (custo de produção + custo de estoque) ao longo de três períodos. Dados relevantes fornecidos no enunciado:
\begin{aligned} &\text{Demandas:}\quad D_1=1,3,\; D_2=2,0,\; D_3=2,5\quad(\text{ton}) \\\ &\text{Custo de produção por período:}\quad c_1=1720,\; c_2=1690,\; c_3=1950\quad(\text{R\$/ton}) \\\ &\text{Custo de estoque por período (por tonelada mantida de um período para o próximo):}\quad h_1=230,\; h_2=200. \end{aligned}çãíííó
Observações extraídas do enunciado: não foi dada capacidade de produção nem custo fixo de setup, logo podemos produzir qualquer quantidade em cada período; o custo de estoque em h_1 refere-se ao custo de manter uma tonelada do final do período 1 até o início do período 2, e h_2 de manter do final do período 2 até o início do período 3. Não há custo de estoque após o período 3 (fim do horizonte).

Passo 2

Modelagem e variáveis (explicando passo a passo o que cada coisa significa):
  • Variáveis de decisão: P_t = \text{produção no período } t\quad(t=1,2,3)çãí
I_t = \text{estoque no final do período } t\quad(t=1,2,3)í
Aqui I_t é a quantidade que sobra após atender a demanda do período t e que pode ser levada ao próximo período.
  • Equações de balanço de estoque (regras de conservação de material):
    I_{t-1} + P_t = D_t + I_t,\quad t=1,2,3,
    com I_0=0 (pressupomos estoques iniciais nulos). Isso diz: o que eu tinha mais o que eu produzi no período serve para atender a demanda do período e deixar estoque final I_t.
  • Custos:
    • Custo de produção total: \sum_{t=1}^{3} c_t P_t.
    • Custo de estoque total: \sum_{t=1}^{2} h_t I_t. (Only I_1 incurs h_1 to carry to period 2, I_2 incurs h_2 to carry to period 3; I_3 not carried further.)
  • Objetivo: minimizar custo total
    \min \; \sum_{t=1}^{3} c_t P_t \;+\; \sum_{t=1}^{2} h_t I_t
    sujeito às equações de balanço e P_t\ge 0,\; I_t\ge 0.

Passo 3

Estratégia de resolução (fórmula simples e por que ela vale): como não há custo fixo por produzir em um período (nenhum setup) e não há limite de capacidade, cada tonelada demandada em um período t pode ser produzida em qualquer período s com 1\le s\le t. Produzir em s para atender demanda em t tem custo por tonelada igual a:
\text{custo por ton produzida em }s\text{ para demanda em }t = c_s + \sum_{k=s}^{t-1} h_k.
Explicação: c_s é o custo de fabricar naquela época; se s<t você precisa carregar essa tonelada pelos períodos intermediários, então paga h_s para ir de s a s+1, h_{s+1} de s+1 a s+2, etc., até chegar em t, totalizando a soma dos h_k de k=s a t-1. Como não há interdependência por setup, a melhor escolha global é, para cada demanda em t, produzir na época s\le t que minimize esse custo unitário.

Passo 4

Aplicar a fórmula a cada demanda e comparar opções (aqui eu calculo o custo unitário de servir a demanda do período t produzindo em cada possível s).
  • Para atender a demanda de t=1 ( D_1): só é possível produzir em s=1. Custo unitário:
    c_1 = 1720.
    Logo a tonelada do período 1 deve ser produzida no período 1.
  • Para atender a demanda de t=2 ( D_2): possibilidades s=1 ou s=2.
    \begin{aligned} &\text{Produzir em }s=1:\quad c_1 + h_1 = 1720 + 230 = 1950,\\\ &\text{Produzir em }s=2:\quad c_2 = 1690. \end{aligned}
    Comparando, 1690 < 1950, então é mais barato produzir em s=2 a demanda de t=2.
  • Para atender a demanda de t=3 ( D_3): possibilidades s=1,2,3.
    \begin{aligned} &\text{Produzir em }s=1:\quad c_1 + h_1 + h_2 = 1720 + 230 + 200 = 2150,\\\ &\text{Produzir em }s=2:\quad c_2 + h_2 = 1690 + 200 = 1890,\\\ &\text{Produzir em }s=3:\quad c_3 = 1950. \end{aligned}
    Comparando, 1890 (produzir em 2 e estocar até 3) é o menor, pois 1890 < 1950 < 2150. Então é mais barato produzir em s=2 a demanda do período 3.

Passo 5

Concluir o programa de produção a partir das escolhas unitárias:
  • Demanda D_1=1,3 deve ser produzida no período 1: P_1 tem pelo menos 1,3.
  • Demanda D_2=2,0 deve ser produzida no período 2.
  • Demanda D_3=2,5 também é melhor produzida no período 2 (e depois estocada até o período 3).
Como em P_2 podemos produzir livremente, o total produzido no período 2 será D_2 + D_3. Assim:
\begin{aligned} &P_1 = 1,3\\ (\text{ton}),\\\ &P_2 = 2,0 + 2,5 = 4,5\\ (\text{ton}),\\\ &P_3 = 0\\ (\text{ton}). \end{aligned}
Estoques resultantes no final de cada período (para fechar o raciocínio):
\begin{aligned} &I_1 = I_0 + P_1 - D_1 = 0 + 1,3 - 1,3 = 0,\\\ &I_2 = I_1 + P_2 - D_2 = 0 + 4,5 - 2,0 = 2,5,\\\ &I_3 = I_2 + P_3 - D_3 = 2,5 + 0 - 2,5 = 0. \end{aligned}

Passo 6

Cálculo detalhado do custo total mínimo (somando produção e estoque):
  • Custo de produção:
    \begin{aligned} &c_1 P_1 = 1720 \cdot 1,3 = 2236,\\\ &c_2 P_2 = 1690 \cdot 4,5 = 7605,\\\ &c_3 P_3 = 1950 \cdot 0 = 0. \end{aligned}
    Soma produção: 2236 + 7605 + 0 = 9841.
  • Custo de estoque:
    h_1 I_1 + h_2 I_2 = 230\cdot 0 + 200\cdot 2,5 = 0 + 500 = 500.
  • Custo total:
    9841 + 500 = 10341.
Portanto o custo total mínimo é R\$10341.

Resposta

Produção: P_1=1,3 t, P_2=4,5 t, P_3=0 t\n
Custo total mínimo: R\$10341

Exercícios relacionados