Um fabricante de pentes de memória RAM para computadores, que produz em grandes quantidades, deseja estimar a fração p de unidades defeituosas elaboradas por sua indústria. Para isso selecionou uma amostra aleatória de 200 unidades e verificou que, entre elas, 5 eram defeituosas. Construa um intervalo de confiança de 95 \% para p ?

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95 % para a proporção verdadeira p de pentes defeituosos, com uma amostra de tamanho n=200 e número de defeituosos X=5. O conteúdo é estimativa de proporção pela aproximação normal (Teorema do Limite Central). Vamos precisar calcular a proporção amostral \hat p, o erro-padrão e usar o valor crítico z_{0{,}975}=1{,}96.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{X}{n} = \frac{5}{200} = 0{,}025.

Passo 3

O intervalo de confiança de nível 1 - \alpha para p é dado por
\hat p \;\pm\; z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}}.
Aqui, \alpha=0{,}05 e z_{0{,}975}=1{,}96.

Passo 4

Calcular o erro-padrão da proporção:
\text{EP} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}025 \times (1 - 0{,}025)}{200}} = \sqrt{\frac{0{,}025 \times 0{,}975}{200}} = \sqrt{0{,}000121875} \approx 0{,}01104.

Passo 5

Calcular a margem de erro:
E = z_{0{,}975}\,\times \text{EP} = 1{,}96 \times 0{,}01104 \approx 0{,}02162.

Passo 6

Determinar os limites do intervalo:
\text{limite inferior} = \hat p - E = 0{,}025 - 0{,}02162 \approx 0{,}00338,
\text{limite superior} = \hat p + E = 0{,}025 + 0{,}02162 \approx 0{,}04662.

Resposta

Um intervalo de confiança de 95 % para p é aproximadamente
\bigl[\,0{,}0034,\;0{,}0466\,\bigr].

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