(Lima e Magalhães) Numa pesquisa de mercado, desejamos estimar a proporção de pessoas que compram o sabonete Bom-Cheiro.

ET - 625 - Estatística 1
Lista 2

a) Que tamanho de amostra devemos colher para que, com probabilidade 0,9 ; a proporção amostral não se desvie do verdadeiro valor por mais de 0,05 ?
b) Se tivermos a informação adicional de que a aceitação do sabonete Bom-Cheiro é no mínimo 0,8 , qual deve ser então o tamanho da amostra?
c) Decidimos colher uma amostra de tamanho 81. Qual o erro máximo que cometemos com probabilidade 0.90 ?
d) Para uma amostra de tamanho 81 , qual a probabilidade de que o erro máximo seja 0,08 ?

Passo 1

O enunciado trata da estimativa da proporção p de consumidores que compram o sabonete Bom-Cheiro, usando a aproximação normal à binomial para a proporção amostral \hat p. Queremos controlar a probabilidade
P\bigl(|\hat p - p|\le E\bigr)\ge 1-\alpha
com margem de erro E e nível de confiança 1-\alpha. A fórmula básica é
n\ge \frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}},
onde z_{1-\alpha/2}=\Phi^{-1}(1-\alpha/2). Para \alpha=0,10 (ou seja, 1-\alpha=0,90) temos z_{0,95}=1,645.

Passo 2

a) Sem nenhuma informação sobre p, adotamos o caso conservador p=0{,}5 que maximiza p(1-p)=0{,}25. Usamos
n\ge \frac{(1,645)^{2}\cdot0{,}25}{(0,05)^{2}} =\frac{2,706\cdot0{,}25}{0{,}0025} =\frac{0{,}6765}{0{,}0025} \approx270{,}6.
Arredondando para o inteiro imediatamente acima, obtemos n=271.

Passo 3

b) Com a informação extra de que p\ge0{,}8, temos p(1-p)\le0{,}8\cdot0{,}2=0{,}16. Logo
n\ge \frac{(1,645)^{2}\cdot0{,}16}{(0,05)^{2}} =\frac{2,706\cdot0{,}16}{0{,}0025} =\frac{0{,}4330}{0{,}0025} \approx173{,}2,
arredondando para cima, n=174.

Passo 4

c) Para amostra de tamanho n=81, queremos o erro E tal que
P(|\hat p - p|\le E)\approx0,90
ou seja E=z_{0,95}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}. No pior caso p=0{,}5, temos
E=1,645\sqrt{\frac{0{,}25}{81}} =1,645\cdot\frac{0,5}{9} =1,645\cdot0,05556 \approx0,0914.

Passo 5

d) Ainda para n=81, qual a probabilidade de |\hat p - p|\le0{,}08? Usando aproximação normal e o pior caso p=0{,}5, o valor padronizado é
z=\frac{0,08}{\sqrt{0{,}25/81}} =\frac{0,08}{0,05556} \approx1,44.
Logo
P(|\hat p - p|\le0{,}08)\approx 2\,\Phi(1,44)-1 \approx2\cdot0,9251-1 \approx0,8502.

Resposta

a) 271
b) 174
c) E\approx0,0914
d) \approx0,8502

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