Um fabricante de plástico produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Para produzir uma tonelada de plástico normal são necessárias duas horas na fábrica A e 5 horas na fábrica B; já na produção de uma tonelada de plástico especial são necessárias 2 horas na fábrica A e 3 horas na fábrica B. Se a fábrica A funciona 8 horas por dia e a fábrica B funciona 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as duas fábricas se mantenham totalmente ocupadas?

Passo 1

O enunciado pede que a gente descubra quantas toneladas de plástico normal e de plástico especial devem ser produzidas para que as fábricas A e B fiquem totalmente ocupadas. O conteúdo aqui é montar e resolver um sistema de equações lineares com duas variáveis, representando as horas gastas em cada fábrica.

Passo 2

Definimos:
x = toneladas de plástico normal por dia
y = toneladas de plástico especial por dia
Na fábrica A cada tonelada de normal ou especial consome 2 h, e ela funciona 8 h, logo
2x + 2y = 8.
Na fábrica B cada tonelada de normal consome 5 h e cada de especial consome 3 h, e ela funciona 15 h, logo
5x + 3y = 15.

Passo 3

A primeira equação pode ser simplificada dividindo por 2:
x + y = 4.
Dessa forma, podemos expressar x em função de y:
x = 4 - y.

Passo 4

Substituímos x = 4 - y na segunda equação:
5(4 - y) + 3y = 15.
Isso dá
20 - 5y + 3y = 15 \quad\Longrightarrow\quad -2y = -5 \quad\Longrightarrow\quad y = 2{,}5.
Então
x = 4 - 2{,}5 = 1{,}5.

Passo 5

Encontramos x = 1{,}5 e y = 2{,}5. Fazendo uma checagem rápida:
— Fábrica A: 2\cdot1{,}5 + 2\cdot2{,}5 = 3 + 5 = 8 h (ok).
— Fábrica B: 5\cdot1{,}5 + 3\cdot2{,}5 = 7{,}5 + 7{,}5 = 15 h (ok).

Resposta

A fábrica deve produzir diariamente 1{,}5 toneladas de plástico normal e 2{,}5 toneladas de plástico especial.

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