Dê a equação da circunferência que passa pelos pontos P_{0}=(0,2), P_{1}=(2,4) e P_{2}=(4,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa pelos pontos P_{0}=(0,2), P_{1}=(2,4) e P_{2}=(4,2). O conteúdo envolvido é a determinação dos parâmetros (h,k,r) na forma padrão da circunferência, isto é,
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.
Vamos usar que cada ponto satisfaz essa equação e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Substituindo P_{0} e P_{2} em
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
obtemos duas equações:
h^2 + (2-k)^2 = r^2 \quad\text{e}\quad (4 - h)^2 + (2-k)^2 = r^2.
Fazendo a diferença entre elas para eliminar r^2, vem
(4 - h)^2 - h^2 = 0 \;\Longrightarrow\; 16 - 8h + h^2 - h^2 = 0 \;\Longrightarrow\; h = 2.

Passo 3

Com h = 2, voltamos à equação geral e substituímos P_{0} e P_{1}:
para P_{0}=(0,2)
(0-2)^2 + (2-k)^2 = r^2 \;\Longrightarrow\; 4 + (2-k)^2 = r^2,
para P_{1}=(2,4)
(2-2)^2 + (4-k)^2 = r^2 \;\Longrightarrow\; (4-k)^2 = r^2.

Passo 4

Igualando as duas expressões de r^2,
4 + (2-k)^2 = (4-k)^2,
expandindo e simplificando,
4 + (k^2 - 4k + 4) = (k^2 - 8k + 16) \;\Longrightarrow\; 4k - 8 = 0 \;\Longrightarrow\; k = 2.

Passo 5

Com h=2 e k=2, usamos (4-k)^2 = r^2 para achar
r^2 = (4-2)^2 = 4.
Logo, a circunferência é
(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4.

Resposta

(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4.

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