Faça um algoritmo para indicar se um ponto \mathrm{P}(\mathrm{X}, \mathrm{Y}) do plano cartesiano pertence à reta 2 x+y=3. Explicite as variáveis de entrada e de saída, em termos de grandeza, unidade de medida e faixa de valores.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: construir um algoritmo que indique se um ponto P(X,Y) do plano cartesiano pertence à reta dada por 2x+y=3.
  • Dados fornecidos: a equação da reta 2x+y=3 e um ponto P com coordenadas X e Y.
  • Saída esperada (implícita no enunciado): uma indicação (sim/não) se P pertence à reta. Pode também ser útil devolver a distância do ponto à reta para casos numéricos aproximados.

Passo 2

Entendendo matematicamente o que significa “pertencer à reta”:
  • Uma reta dada por uma equação linear no plano tem a forma geral ax+by+c=0. Um ponto (x,y) pertence à reta se, ao substituir x por x e y por y na equação, a igualdade é satisfeita.
  • No nosso caso a reta é 2x+y=3. Colocando na forma ax+by+c=0 obtemos
2x+y-3=0.
  • Portanto, a condição matemática exata para que P(X,Y) pertença à reta é
2X+Y-3=0.
Se essa igualdade for verdadeira, o ponto está na reta.

Passo 3

Construindo o teste exato (caso simbólico ou números racionais/inteiros):
  • Calcule S = 2X+Y.
  • Compare S com 3.
  • Regra exata:
    • Se S=3 então “pertence”.
    • Senão “não pertence”.
  • Observação didática: esta é a verificação direta da definição — substituir as coordenadas na equação da reta e checar se a igualdade vale.

Passo 4

Problema prático: aritmética de ponto flutuante e erro numérico
  • Em computadores e em medições reais, X e Y normalmente são números de ponto flutuante e podem ocorrer pequenos erros. Por isso é prudente usar um critério numérico com tolerância.
  • Escrevemos a expressão para o resíduo (ou numerador do erro):
r = 2X+Y-3.
  • Uma forma robusta de decidir é usar a distância do ponto à reta (medida em unidades do mesmo tipo que X,Y). Para a reta 2x+y-3=0 a distância ortogonal do ponto P(X,Y) à reta é
d = \frac{|2X+Y-3|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} = \frac{|r|}{\sqrt{5}}.
  • Aqui d tem a mesma unidade que X e Y (por exemplo metros, centímetros ou unidade adimensional, dependendo do contexto).
  • Critério numérico recomendado:
    • Escolha uma tolerância \varepsilon>0 pequena (por exemplo \varepsilon=10^{-9} em unidades das coordenadas, ou uma tolerância relativa baseada na escala dos dados).
    • Se d \le \varepsilon então considerar que P pertence à reta (pertence numericamente).
    • Caso contrário, não pertence.

Passo 5

Explicitação das variáveis de entrada e saída (grandeza, unidade e faixa de valores)
  • Variáveis de entrada:
    • X: coordenada x do ponto P.
      • Grandeza: posição na direção x.
      • Unidade de medida: unidade de comprimento arbitrária (por exemplo metros) ou adimensional se coordenadas forem adimensionais. Especificar conforme o problema prático.
      • Faixa de valores: X \in (-\infty,\infty) (na prática, limitada pela representação numérica da máquina; por exemplo, números reais representáveis).
    • Y: coordenada y do ponto P.
      • Grandeza: posição na direção y.
      • Unidade de medida: mesma unidade de X.
      • Faixa de valores: Y \in (-\infty,\infty) (ou limites de máquina).
    • (Opcional) \varepsilon: tolerância numérica.
      • Grandeza: distância mínima aceitável para considerar que o ponto está sobre a reta.
      • Unidade: mesma que X,Y.
      • Faixa de valores: \varepsilon>0. Exemplo prático: \varepsilon=10^{-9}.
  • Variáveis de saída:
    • pertence: indicação lógica (por exemplo \text{True} / \text{False}) ou texto (“pertence”/“não pertence”).
      • Grandeza: informação booleana.
      • Unidade: nenhuma.
      • Faixa de valores: { \text{True},\text{False}}.
    • (Opcional) d: distância do ponto à reta.
      • Grandeza: comprimento (mesma unidade de X,Y).
      • Faixa de valores: d\in[0,\infty).

Passo 6

Algoritmo (pseudocódigo) passo a passo — versão com tolerância numérica (recomendada)
  • Entrada: números reais X, Y. (Opcional: \varepsilon.)
  • Saída: indicador “pertence”/“não pertence” e distância d.
  • Pseudocódigo:
    1. Ler X, Y.
    2. Definir \varepsilon (por exemplo \varepsilon=10^{-9}).
    3. Calcular o resíduo r = 2X+Y-3.
    4. Calcular a distância d = \frac{|r|}{\sqrt{5}}.
    5. Se d \le \varepsilon então:
      • pertence \leftarrow \text{True} (imprimir “P pertence à reta”).
        Senão:
      • pertence \leftarrow \text{False} (imprimir “P não pertence à reta”).
    6. (Opcional) Imprimir o valor de d.
  • Este algoritmo é simples, direto e funciona bem tanto para inteiros/racionais (onde r poderá ser exatamente zero) quanto para reais aproximados.

Passo 7

Alguns exemplos numéricos para fixar a ideia
  • Exemplo 1 (exato): P(1,1).
    • r = 2\cdot 1 + 1 - 3 = 0.
    • d=0. Logo pertence.
  • Exemplo 2 (não pertence): P(0,0).
    • r = 2\cdot 0 + 0 - 3 = -3.
    • d = \dfrac{3}{\sqrt{5}}\approx 1{,}3416. Se \varepsilon=10^{-9}, d>\varepsilon então não pertence.
  • Exemplo 3 (aproximação numérica): P(1{,}000000001,1).
    • r = 2\cdot 1{,}000000001 + 1 - 3 = 2{,}000000002 + 1 - 3 = 0{,}000000002.
    • d = \dfrac{0{,}000000002}{\sqrt{5}}\approx 8{,}9443\times10^{-10}.
    • Se \varepsilon=10^{-9}, então d \le \varepsilon e consideramos que o ponto pertence numericamente à reta (essa escolha depende da precisão desejada).

Passo 8

Dicas práticas e motivação final
  • Se as coordenadas vêm de medições físicas, escolha \varepsilon compatível com o erro de medição (por exemplo, se a precisão do instrumento é 10^{-3} m, use \varepsilon desse tamanho).
  • Para trabalhos simbólicos ou quando X,Y são frações exatas, usar o teste exato 2X+Y=3.
  • Vai dar certo! Seguindo esses passos você terá um algoritmo simples e confiável para a prova e para implementações práticas.

Resposta

Algoritmo: calcular r=2X+Y-3, d=\dfrac{|r|}{\sqrt{5}}; se d\le\varepsilon (ex.: \varepsilon=10^{-9}) então “P pertence à reta” senão “P não pertence à reta”.

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