Faça um algoritmo para indicar se um ponto
do plano cartesiano pertence à reta
. Explicite as variáveis de entrada e de saída, em termos de grandeza, unidade de medida e faixa de valores.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedido: construir um algoritmo que indique se um ponto
do plano cartesiano pertence à reta dada por . - Dados fornecidos: a equação da reta
e um ponto com coordenadas e . - Saída esperada (implícita no enunciado): uma indicação (sim/não) se
pertence à reta. Pode também ser útil devolver a distância do ponto à reta para casos numéricos aproximados.
Passo 2
Entendendo matematicamente o que significa “pertencer à reta”:
- Uma reta dada por uma equação linear no plano tem a forma geral
. Um ponto pertence à reta se, ao substituir por e por na equação, a igualdade é satisfeita. - No nosso caso a reta é
. Colocando na forma obtemos
- Portanto, a condição matemática exata para que
pertença à reta é
Se essa igualdade for verdadeira, o ponto está na reta.
Passo 3
Construindo o teste exato (caso simbólico ou números racionais/inteiros):
- Calcule
. - Compare
com . - Regra exata:
- Se
então “pertence”. - Senão “não pertence”.
- Se
- Observação didática: esta é a verificação direta da definição — substituir as coordenadas na equação da reta e checar se a igualdade vale.
Passo 4
Problema prático: aritmética de ponto flutuante e erro numérico
- Em computadores e em medições reais,
e normalmente são números de ponto flutuante e podem ocorrer pequenos erros. Por isso é prudente usar um critério numérico com tolerância. - Escrevemos a expressão para o resíduo (ou numerador do erro):
- Uma forma robusta de decidir é usar a distância do ponto à reta (medida em unidades do mesmo tipo que
). Para a reta a distância ortogonal do ponto à reta é
- Aqui
tem a mesma unidade que e (por exemplo metros, centímetros ou unidade adimensional, dependendo do contexto). - Critério numérico recomendado:
- Escolha uma tolerância
pequena (por exemplo em unidades das coordenadas, ou uma tolerância relativa baseada na escala dos dados). - Se
então considerar que pertence à reta (pertence numericamente). - Caso contrário, não pertence.
- Escolha uma tolerância
Passo 5
Explicitação das variáveis de entrada e saída (grandeza, unidade e faixa de valores)
- Variáveis de entrada:
-
: coordenada do ponto . - Grandeza: posição na direção
. - Unidade de medida: unidade de comprimento arbitrária (por exemplo metros) ou adimensional se coordenadas forem adimensionais. Especificar conforme o problema prático.
- Faixa de valores:
(na prática, limitada pela representação numérica da máquina; por exemplo, números reais representáveis).
- Grandeza: posição na direção
-
: coordenada do ponto . - Grandeza: posição na direção
. - Unidade de medida: mesma unidade de
. - Faixa de valores:
(ou limites de máquina).
- Grandeza: posição na direção
- (Opcional)
: tolerância numérica. - Grandeza: distância mínima aceitável para considerar que o ponto está sobre a reta.
- Unidade: mesma que
. - Faixa de valores:
. Exemplo prático: .
-
- Variáveis de saída:
- pertence: indicação lógica (por exemplo
/ ) ou texto (“pertence”/“não pertence”). - Grandeza: informação booleana.
- Unidade: nenhuma.
- Faixa de valores: {
}.
- (Opcional)
: distância do ponto à reta. - Grandeza: comprimento (mesma unidade de
). - Faixa de valores:
.
- Grandeza: comprimento (mesma unidade de
- pertence: indicação lógica (por exemplo
Passo 6
Algoritmo (pseudocódigo) passo a passo — versão com tolerância numérica (recomendada)
- Entrada: números reais
, . (Opcional: .) - Saída: indicador “pertence”/“não pertence” e distância
. - Pseudocódigo:
- Ler
, . - Definir
(por exemplo ). - Calcular o resíduo
. - Calcular a distância
- Se
então: - pertence
(imprimir “P pertence à reta”).
Senão: - pertence
(imprimir “P não pertence à reta”).
- pertence
- (Opcional) Imprimir o valor de
.
- Ler
- Este algoritmo é simples, direto e funciona bem tanto para inteiros/racionais (onde
poderá ser exatamente zero) quanto para reais aproximados.
Passo 7
Alguns exemplos numéricos para fixar a ideia
- Exemplo 1 (exato):
. -
. -
. Logo pertence.
-
- Exemplo 2 (não pertence):
. -
. -
. Se , então não pertence.
-
- Exemplo 3 (aproximação numérica):
. -
. -
. - Se
, então e consideramos que o ponto pertence numericamente à reta (essa escolha depende da precisão desejada).
-
Passo 8
Dicas práticas e motivação final
- Se as coordenadas vêm de medições físicas, escolha
compatível com o erro de medição (por exemplo, se a precisão do instrumento é m, use desse tamanho). - Para trabalhos simbólicos ou quando
são frações exatas, usar o teste exato . - Vai dar certo! Seguindo esses passos você terá um algoritmo simples e confiável para a prova e para implementações práticas.
Resposta
Algoritmo: calcular
,
; se
(ex.:
) então “P pertence à reta” senão “P não pertence à reta”.