Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 36, faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
int(3 \operatorname{sen} t-2 \cos t) d t

Passo 1

O enunciado pede a antiderivação (integração indefinida) da função dada e, por se tratar de um exercício do bloco 1–8, também exige verificar o resultado calculando a derivada da antiderivada. As informações fornecidas são:
  • Integrando: 3 \operatorname{sen} t - 2 \cos t.
  • Queremos encontrar uma função F(t) tal que F'(t)=3 \operatorname{sen} t - 2 \cos t, e depois verificar derivando F(t).

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos):
  • Antiderivada / integral indefinida: uma função F(t) é antiderivada de f(t) quando F'(t)=f(t). A escrita é \displaystyle F(t)=\int f(t)\,dt.
  • Linearidade da integral: constantes podem sair da integral e a integral de soma é soma de integrais. Ou seja,
\int\big(a\,f(t)+b\,g(t)\big)\,dt = a\int f(t)\,dt + b\int g(t)\,dt,
onde a e b são constantes.
  • Fórmulas básicas que usaremos (estas vêm das derivadas conhecidas de sen e cos):
\int \operatorname{sen} t\,dt = -\cos t + C, \qquad \int \cos t\,dt = \sin t + C.
Explicando por que: a derivada de \cos t é -\operatorname{sen} t, então uma primitiva de \operatorname{sen} t é -\cos t. A derivada de \sin t é \cos t, logo \sin t é primitiva de \cos t.

Passo 3

Aplicando a linearidade da integral ao integrando:
\int(3 \operatorname{sen} t - 2 \cos t)\,dt = 3\int \operatorname{sen} t\,dt - 2\int \cos t\,dt.

Passo 4

Agora substituímos as fórmulas básicas que vimos:
3\int \operatorname{sen} t\,dt - 2\int \cos t\,dt = 3\big(-\cos t\big) - 2\big(\sin t\big) + C.
Simplificando:
\int(3 \operatorname{sen} t - 2 \cos t)\,dt = -3\cos t - 2\sin t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação (calcular a derivada da resposta para checar):
Tomemos F(t) = -3\cos t - 2\sin t + C. Usamos a regra da derivada da soma e a constante fator:
  • Derivada de -3\cos t:
\frac{d}{dt}\big(-3\cos t\big) = -3\cdot\frac{d}{dt}(\cos t) = -3\cdot(-\operatorname{sen} t) = 3\operatorname{sen} t.
  • Derivada de -2\sin t:
\frac{d}{dt}\big(-2\sin t\big) = -2\cdot\frac{d}{dt}(\sin t) = -2\cdot\cos t = -2\cos t.
  • Derivada da constante C é 0.
Somando:
F'(t) = 3\operatorname{sen} t - 2\cos t,
que é exatamente o integrando original. A verificação está feita: a antiderivada está correta.

Passo 6

Observações finais amigáveis:
  • Não esqueça sempre do +C nas integrais indefinidas — é o conjunto de todas as primitivas.
  • Um erro comum é confundir sinais: lembre que \int \operatorname{sen} t\,dt = -\cos t (sinal negativo!) e \int \cos t\,dt = \sin t.
  • Pratique integrando termo a termo e verificando por diferenciação — isso fixa a intuição.

Resposta

-3\cos t - 2\sin t + C

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