Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 36, faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede a antiderivação (integração indefinida) da função dada e, por se tratar de um exercício do bloco 1–8, também exige verificar o resultado calculando a derivada da antiderivada. As informações fornecidas são:
- Integrando:
. - Queremos encontrar uma função
tal que , e depois verificar derivando .
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicadinhos):
- Antiderivada / integral indefinida: uma função
é antiderivada de quando . A escrita é . - Linearidade da integral: constantes podem sair da integral e a integral de soma é soma de integrais. Ou seja,
onde
e
são constantes.
- Fórmulas básicas que usaremos (estas vêm das derivadas conhecidas de sen e cos):
Explicando por que: a derivada de
é
, então uma primitiva de
é
. A derivada de
é
, logo
é primitiva de
.
Passo 3
Aplicando a linearidade da integral ao integrando:
Passo 4
Agora substituímos as fórmulas básicas que vimos:
Simplificando:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação (calcular a derivada da resposta para checar):
Tomemos . Usamos a regra da derivada da soma e a constante fator:
Tomemos
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada da constante
é .
Somando:
que é exatamente o integrando original. A verificação está feita: a antiderivada está correta.
Passo 6
Observações finais amigáveis:
- Não esqueça sempre do
nas integrais indefinidas — é o conjunto de todas as primitivas. - Um erro comum é confundir sinais: lembre que
(sinal negativo!) e . - Pratique integrando termo a termo e verificando por diferenciação — isso fixa a intuição.