Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função e verificar o resultado calculando a derivada da primitiva. A integral dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é
. - É pedido também verificar o resultado calculando a derivada da primitiva encontrada.
Vou continuar sem supor conhecimento prévio e mostrar passo a passo duas formas de resolver (uma por reconhecimento direto e outra por substituição), e em seguida verificar por diferenciação.
Passo 2
Observação algébrica simples (reorganizar a expressão):
Reescrevendo com funções trigonométricas conhecidas:
Explicando essa transformação:
é definido como
e
é
. Multiplicando esses dois, obtemos exatamente
.
Passo 3
Reconhecimento da derivada conhecida (por que isso ajuda): sabe-se que a derivada de
é
. Portanto, se a integranda é
, a antiderivada é simplesmente
(mais constante). Vou mostrar por que
para não assumir como óbvio.
A função
pode ser escrita como
. Usando a regra da cadeia e a derivada de
(que é
):
Como
, substituindo:
Isso confirma a identidade
.
Passo 4
Conclusão imediata da antiderivação pelo reconhecimento:
Como a integranda é e essa é exatamente a derivada de
, temos
Como a integranda é
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Método alternativo (substituição) — importante para ver a técnica e para quando não lembrarmos de fórmulas prontas:
Escolha a substituição
. Então compute
:
Logo
. Substituindo na integral original:
Agora integramos
:
Portanto
Voltando para
usando
:
Assim chegamos ao mesmo resultado:
Passo 6
Verificação final: differentiando a primitiva obtida para checar se recuperamos a integranda.
Começando de
. Derivando,
Como
coincide com a integranda, a antiderivada está correta.