Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função e verificar o resultado calculando a derivada da primitiva. A integral dada é
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}.
  • É pedido também verificar o resultado calculando a derivada da primitiva encontrada.
    Vou continuar sem supor conhecimento prévio e mostrar passo a passo duas formas de resolver (uma por reconhecimento direto e outra por substituição), e em seguida verificar por diferenciação.

Passo 2

Observação algébrica simples (reorganizar a expressão):
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}=\left(\frac{1}{\cos x}\right)\left(\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right).
Reescrevendo com funções trigonométricas conhecidas:
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}=\operatorname{sec} x\cdot \tan x.
Explicando essa transformação: \operatorname{sec} x é definido como \dfrac{1}{\cos x} e \tan x é \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}. Multiplicando esses dois, obtemos exatamente \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}.

Passo 3

Reconhecimento da derivada conhecida (por que isso ajuda): sabe-se que a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Portanto, se a integranda é \operatorname{sec} x\tan x, a antiderivada é simplesmente \operatorname{sec} x (mais constante). Vou mostrar por que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x para não assumir como óbvio.
A função \operatorname{sec} x pode ser escrita como (\cos x)^{-1}. Usando a regra da cadeia e a derivada de \cos x (que é -\operatorname{sen} x):
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(\cos x).
Como \dfrac{d}{dx}\cos x=-\operatorname{sen} x, substituindo:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\operatorname{sen} x) = \operatorname{sen} x\cdot\cos^{-2}x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2}x} = \operatorname{sec} x\tan x.
Isso confirma a identidade \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 4

Conclusão imediata da antiderivação pelo reconhecimento:
Como a integranda é \operatorname{sec} x\tan x e essa é exatamente a derivada de \operatorname{sec} x, temos
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}\,dx = \int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = \operatorname{sec} x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Método alternativo (substituição) — importante para ver a técnica e para quando não lembrarmos de fórmulas prontas:
Escolha a substituição \;u=\cos x. Então compute du:
du = \frac{d}{dx}(\cos x)\,dx = -\operatorname{sen} x\,dx.
Logo \operatorname{sen} x\,dx = -du. Substituindo na integral original:
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}\,dx = \int \frac{-du}{u^{2}} = -\int u^{-2}\,du.
Agora integramos u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Portanto
-\int u^{-2}\,du = -\bigl(-u^{-1}\bigr) = u^{-1} = \frac{1}{u}.
Voltando para x usando u=\cos x:
\frac{1}{u}=\frac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x.
Assim chegamos ao mesmo resultado:
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}\,dx = \operatorname{sec} x + C.

Passo 6

Verificação final: differentiando a primitiva obtida para checar se recuperamos a integranda.
Começando de \;F(x)=\operatorname{sec} x + C. Derivando,
F'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x + \frac{d}{dx}C = \operatorname{sec} x\tan x + 0 = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^{2} x}.
Como F'(x) coincide com a integranda, a antiderivada está correta.

Resposta

\operatorname{sec} x + C

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