1. Faça os balanços de massa para um reator contínuo, considerando a taxa de morte e o coeficiente de manutenção celular, utilizando as duas abordagens, taxa de diluição e tempo de residência e encontre as equações abaixo (mostrar o passo a passo dos balanços):
\begin{gathered} S=\frac{K_{S}\left(D+k_{d}\right)}{\mu_{\max }-\left(D+k_{d}\right)}=\frac{K_{S}\left(1+k_{d} \theta\right)}{\left(\mu_{\max }-k_{d}\right) \theta-1} \\\ X=\frac{Y_{\frac{X}{S}} D\left(S_{0}-S\right)}{Y_{\frac{X}{S}} m_{S}+\left(D+k_{d}\right)}=\frac{Y_{\frac{X}{S}}\left(S_{0}-S\right)\left(K_{S}+S\right)}{\mu_{\max } S \theta+Y_{\frac{X}{S}} m_{S}\left(K_{S}+S\right) \theta} \end{gathered}
Use as seguintes constantes para confirmar essas igualdades, calculando X e S em ambas as equações, fornecendo o valor de S e X encontrados:
\mu_{\max }=0,2 \mathrm{dia}^{-1}, \mathrm{Ks}=0,5 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, \mathrm{S}_{0}=3,5 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, \mathrm{Y} \mathrm{x} / \mathrm{s}=0,9, \mathrm{~m}_{\mathrm{s}}=0,06 \mathrm{dia}^{-1}, \mathrm{kd}=0,02 \mathrm{dia}^{-1} e \theta=8 dias ( \mathrm{D}=0,125 \mathrm{dia}^{-1} ).

Passo 1

O enunciado pede os balanços de massa em regime permanente para um reator contínuo (CSTR) considerando taxa de morte celular ( k_{d}) e coeficiente de manutenção de substrato ( m_{s}). Vamos usar a cinética de Monod
\mu(S)=\frac{\mu_{\max}S}{K_{S}+S}
e fazer dois tratamentos: pela taxa de diluição D e pelo tempo de residência \theta=1/D. O objetivo é obter
S=\frac{K_{S}(D+k_{d})}{\mu_{\max}-(D+k_{d})} \quad\text{e}\quad X=\frac{Y_{X/S}\,D\,(S_{0}-S)}{Y_{X/S}\,m_{s}+(D+k_{d})}
e, em seguida, reescrevê-las em função de \theta.

Passo 2

Balanço de biomassa usando D:\n
Em regime permanente ( dX/dt=0), a entrada de biomassa é nula (assumimos X_{\text{in}}=0), a saída é D\,X, a geração é \mu(S)\,X e a morte é k_{d}\,X. Logo,
0 = \mu(S)\,X - k_{d}\,X - D\,X \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\mu(S)-k_{d}\bigr)X = D\,X.
Cancelando X\neq0 e substituindo \mu(S), vem
\frac{\mu_{\max}S}{K_{S}+S} \;=\; D + k_{d} \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{K_{S}(D+k_{d})}{\mu_{\max} - (D + k_{d})}.

Passo 3

Balanço de substrato usando D:\n
- Entrada de substrato: D\,S_{0}
- Saída de substrato: D\,S
- Consumo por crescimento: \tfrac{1}{Y_{X/S}}\,\mu(S)\,X
- Consumo por manutenção: m_{s}\,X
Em regime permanente ( dS/dt=0),
0 = D\,S_{0} - D\,S - \frac{1}{Y_{X/S}}\,\mu(S)\,X - m_{s}\,X,
ou
D\,(S_{0}-S) = X\Bigl[\tfrac{1}{Y_{X/S}}\,(D+k_{d}) + m_{s}\Bigr].
Isolando X e reorganizando,
X = \frac{Y_{X/S}\,D\,(S_{0}-S)}{Y_{X/S}\,m_{s} + (D + k_{d})}.

Passo 4

Passando para o tratamento por tempo de residência \theta=1/D na equação de S:\n
D + k_{d} = \frac{1}{\theta} + k_{d} = \frac{1 + k_{d}\,\theta}{\theta}, \quad \mu_{\max} - (D + k_{d}) = \mu_{\max} - k_{d} - \frac{1}{\theta} = \frac{(\mu_{\max}-k_{d})\,\theta - 1}{\theta}.
Substituindo em
\;S = \frac{K_{S}(D+k_{d})}{\mu_{\max} - (D + k_{d})},
multiplicando numerador e denominador por \theta, chega-se a
S = \frac{K_{S}\bigl(1 + k_{d}\,\theta\bigr)}{(\mu_{\max}-k_{d})\,\theta - 1}.

Passo 5

Mesma ideia para X. Partimos de
X = \frac{Y\,D\,(S_{0}-S)}{Y\,m_{s} + (D + k_{d})}, \quad D=\frac{1}{\theta}.
Multiplicamos numerador e denominador por \theta:
X = \frac{Y\,(S_{0}-S)}{Y\,m_{s}\,\theta + 1 + k_{d}\,\theta}.
Mas de \mu(S)=D+k_{d} temos
1 + k_{d}\,\theta = \bigl(D + k_{d}\bigr)\,\theta = \frac{\mu_{\max}S}{K_{S}+S}\,\theta \;\Longrightarrow\; 1 + k_{d}\,\theta = \frac{\mu_{\max}S\,\theta}{K_{S}+S}.
Substituindo no denominador e colocando tudo sobre o mesmo denominador (K_{S}+S), obtemos
X = \frac{Y\,(S_{0}-S)\,(K_{S}+S)}{\mu_{\max}S\,\theta \;+\; Y\,m_{s}\,(K_{S}+S)\,\theta}.

Passo 6

Cálculo numérico com D=0{,}125\\ \mathrm{d}^{-1}:\n
\mu_{\max}=0{,}2, K_{S}=0{,}5, S_{0}=3{,}5, Y=0{,}9, m_{s}=0{,}06, k_{d}=0{,}02.\n
  1. S pela forma com D:
S = \frac{0{,}5\,(0{,}125+0{,}02)}{0{,}2 - (0{,}125+0{,}02)} = \frac{0{,}5\cdot0{,}145}{0{,}055} \approx 1{,}318\\ \mathrm{g/L}.
  1. X pela forma com D:
X = \frac{0{,}9\cdot0{,}125\,(3{,}5 - 1{,}318)}{0{,}9\cdot0{,}06 + (0{,}125+0{,}02)} = \frac{0{,}1125\cdot2{,}182}{0{,}054+0{,}145} \approx 1{,}234\\ \mathrm{g/L}.

Passo 7

Cálculo numérico com \theta=8 dias ( D=1/8): usando as fórmulas em função de \theta\n
  1. S pela forma com \theta:
S = \frac{0{,}5\,(1 + 0{,}02\cdot8)}{(0{,}2-0{,}02)\cdot8 - 1} = \frac{0{,}5\cdot1{,}16}{1{,}44 -1} = \frac{0{,}58}{0{,}44} \approx 1{,}318\\ \mathrm{g/L}.
  1. X pela forma com \theta:
X = \frac{0{,}9\,(3{,}5-1{,}318)\,(0{,}5+1{,}318)}{0{,}2\cdot1{,}318\cdot8 + 0{,}9\cdot0{,}06\,(0{,}5+1{,}318)\cdot8} \approx 1{,}234\\ \mathrm{g/L}.
Os resultados coincidem nas duas abordagens.

Resposta

S ≃ 1,318 g/L
X ≃ 1,234 g/L

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