Faça uma breve discussão sobre a força magnética entre dois fios com corrente elétrica.

Passo 1

O enunciado pede uma breve discussão sobre a força magnética entre dois fios com corrente elétrica. Vou considerar os pontos que vamos responder: (a) de onde vem o campo magnético produzido por um fio retilíneo, (b) como esse campo age sobre outro fio que carregue corrente, (c) fórmula que dá a intensidade da força (por unidade de comprimento) entre dois fios paralelos e o sinal (atração/repulsão), (d) interpretação física e exemplo numérico simples. As informações que usarei (assunções padrão) são: fios retilíneos longos e paralelos, correntes constantes I_1 e I_2, separação entre eixos d, e comprimento do trecho considerado L.

Passo 2

Campo magnético produzido por um fio longo retilíneo: ideia e fórmula.
Primeiro, a intuição: corrente elétrica é fluxo de cargas em movimento; cargas em movimento geram um campo magnético ao redor do fio. Para um fio muito longo e reto, o campo magnético tem simetria circular ao redor do fio e o módulo do campo depende só da distância radial r ao fio. A fórmula (obtida por Ampère ou pela lei de Biot–Savart) é:
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Aqui:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, com valor \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N\!/\!A^2};
  • I é a corrente que passa no fio que gera o campo;
  • r é a distância do ponto considerado até o eixo do fio;
  • B(r) tem unidade de tesla (\mathrm{T}) e representa o módulo do campo magnético.
    Direção: o campo é tangencial a círculos centrados no fio (direção azimutal). Para saber o sentido use a regra da mão direita: polegar no sentido da corrente e os dedos enrolados mostram o sentido do \vec B.

Passo 3

Força sobre um fio contendo corrente imerso num campo magnético: expressão e interpretação.
Microscopicamente, a força sobre cargas em movimento é a força de Lorentz, mas para um fio com corrente usamos a versão macroscópica: o segmento de fio de comprimento \vec L que carrega corrente I sofre força
\vec F = I\,\vec L\times\vec B.
Explicando cada símbolo:
  • \vec F é a força total sobre o segmento (unidade: newton, \mathrm{N});
  • I é a corrente elétrica no segmento (unidade: ampère, \mathrm{A});
  • \vec L é um vetor de comprimento igual ao comprimento do trecho considerado L e direção coincidente com o sentido da corrente (unidade: metro, \mathrm{m});
  • \vec B é o campo magnético no ponto onde o fio está (unidade: tesla).
    O produto vetorial \times dita que a força é perpendicular tanto à corrente quanto ao campo; o sentido é dado pela regra da mão direita (ou regra da mão esquerda se preferir).

Passo 4

Combinação das duas expressões para obter a força entre dois fios paralelos.
Considere dois fios paralelos, de correntes I_1 e I_2, separados por distância d. O campo produzido pelo fio 1 no local do fio 2 tem módulo (usando a fórmula do Passo 2):
B_1(d)=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}.
Esse campo é perpendicular à direção das correntes (é circular ao redor do fio 1), então a força por unidade de comprimento exercida sobre o fio 2 (usando \vec F = I_2 \vec L\times \vec B_1 e dividindo por L) tem módulo
\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.
Explicando: \frac{F}{L} é a força por unidade de comprimento (unidade \mathrm{N/m}); essa fórmula foi obtida substituindo B_1(d) na expressão da força e usando que o ângulo entre \vec L e \vec B_1 é 90^\circ (produto vetorial reduz a produto de magnitudes).
Quanto ao sentido: se I_1 e I_2 têm o mesmo sentido, a força é de atração entre os fios; se os sentidos são opostos, a força é de repulsão. Isso vem diretamente do sinal do produto vetorial e da orientação do campo (use a regra da mão direita para verificar).

Passo 5

Interpretação física e referência histórica.
  • Física: a interação é mediada pelo campo magnético criado por uma corrente que age sobre as cargas móveis da outra corrente. Não é uma “força de contato” — é uma força de campo a distância.
  • Unidade e definição: a expressão é usada historicamente para definir o ampère: dois fios longos, retilíneos, paralelos e separados de 1\\ \mathrm{m} que transportam correntes iguais de 1\\ \mathrm{A} produzem entre si uma força por unidade de comprimento de 2\times10^{-7}\\ \mathrm{N/m}. Isso se relaciona com o valor de \mu_0 mostrado anteriormente. (Nota: a definição SI do ampère foi atualizada, mas essa relação é ainda muito útil conceitualmente.)

Passo 6

Propriedades importantes e limites da fórmula.
  • A fórmula \frac{F}{L}=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} vale para fios muito longos e aproximadamente retilíneos (ou seja, quando tratamos trechos onde efeitos de extremidade são desprezíveis). Para fios de comprimento finito ou não paralelos é preciso integrar a lei de Biot–Savart ou usar métodos numéricos.
  • Forças entre correntes obedecem à terceira lei de Newton: o fio 2 exerce sobre o fio 1 força igual em módulo e oposta em sentido.
  • A grandeza \mu_0 codifica a “força” do acoplamento magnético no vácuo; em meios materiais aparece a permeabilidade relativa \mu_r.

Passo 7

Exemplo numérico simples para fixar a ideia.
Considere I_1=I_2=2\\ \mathrm{A}, separação d=0,1\\ \mathrm{m}, e comprimento L=1\\ \mathrm{m}. Usando
\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}
com \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N\!/\!A^2}, temos
\frac{F}{L}=\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 2\cdot 2}{2\pi\cdot 0,1}=8,0\times10^{-6}\\ \mathrm{N/m}.
Para L=1\\ \mathrm{m} isso dá F=8,0\times10^{-6}\\ \mathrm{N} de atração (porque as correntes têm o mesmo sentido). É uma força muito pequena — por isso precisamos de correntes grandes ou fios longos para efeitos macroscópicos notáveis.

Resposta

A força por unidade de comprimento entre dois fios longos e paralelos, separados por distância d e com correntes I_1 e I_2, é
\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.
Sentido: correntes no mesmo sentido => atração; correntes em sentidos opostos => repulsão. Exemplo: para I_1=I_2=2\\ \mathrm{A}, d=0,1\\ \mathrm{m} e L=1\\ \mathrm{m}, F=8,0\times10^{-6}\\ \mathrm{N} (atração).

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