[KAROLINE GONCALVES DE ALBUQUERQUE] Um recipiente de gás tem \Omega=5 \times 10^{24} microestados disponíveis. Calcule a entropia S deste sistema.

Passo 1

O enunciado dá o número de microestados disponíveis \Omega e pede a entropia S do sistema. Informações relevantes fornecidas:
\Omega = 5\times10^{24}.
O que nos pedem: calcular S (valor numérico e unidade).

Passo 2

A fórmula que relaciona o número de microestados à entropia é a famosa fórmula de Boltzmann:
S = k \ln(\Omega),
onde:
  • S é a entropia do sistema (unidade: \mathrm{J/K});
  • k é a constante de Boltzmann, cujo valor é \displaystyle k = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K};
  • \ln(\Omega) é o logaritmo natural de \Omega (logaritmo na base e).
Explicação rápida do porquê: a entropia deve crescer quando há mais microestados possíveis; o logaritmo natural torna essa relação extensiva (ou seja, por exemplo, duas subsistemas independentes têm entropia que soma), por isso usamos \ln.

Passo 3

Para calcular \ln(\Omega) com \Omega=5\times10^{24} usamos a propriedade dos logaritmos:
\ln\big(5\times10^{24}\big)=\ln(5)+\ln\big(10^{24}\big).
E \ln\big(10^{24}\big)=24\ln(10). Portanto,
\ln(\Omega)=\ln(5)+24\ln(10).
Valores numéricos conhecidos (usados aqui como aproximações usuais para cálculo manual):
\ln(5)\approx 1{,}609437912,\qquad \ln(10)\approx 2{,}302585093.
Agora calculamos:
24\ln(10)=24\times2{,}302585093=55{,}262042232,
\ln(5)+24\ln(10)=1{,}609437912+55{,}262042232=56{,}871480144.
Logo,
\ln(\Omega)\approx 56{,}871480144.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Boltzmann S=k\ln(\Omega). Substituindo k e \ln(\Omega):
S = \big(1{,}380649\times10^{-23}\big)\times 56{,}871480144.
Multiplicando os números:
1{,}380649\times56{,}871480144 \approx 78{,}519449735,
portanto
S \approx 78{,}519449735\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
Reescrevendo em notação padrão:
S \approx 7{,}8519449735\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Arredondando para três algarismos significativos (suficiente para muitas aplicações experimentais) e deixando claro a unidade:
S \approx 7{,}85\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}.
Pequena dica prática: a maior parte das questões de prova aceita este arredondamento; se precisarem de mais casas, mantenha os valores intermediários com mais dígitos antes de arredondar.

Resposta

S \approx 7{,}85\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}

Exercícios relacionados