Faça uma comparação detalhada, qualitativa e quantitativa, das propriedade de fios de cobre e alumínio para serem usados na distribuição de energia elétrica operando na freqüência de 60 Hz . Considere que as perdas em ambos os fios devem ser iguais e considere o efeito pelicular.
Tabela I. Dados do alumínio e cobre
Tabela I. Dados do alumínio e cobre
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Preço (R$/kg) |
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Cobre | 8,95 | 17 | 15,33 | 1,0 |
Alumínio | 2,70 | 29 | 3,89 | 1,0 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente comparar de forma detalhada, tanto qualitativa quanto quantitativa, os fios de cobre e alumínio que são usados para distribuir energia elétrica em 60 Hz. A ideia é garantir que as perdas de energia em ambos os fios sejam iguais e levar em conta o efeito pelicular, que acontece em correntes alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como resistividade, densidade, custo dos materiais e como o efeito pelicular impacta a resistência dos fios.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre resistividade elétrica (ρ). Ela indica o quanto um material resiste ao fluxo de eletricidade. Quanto menor a resistividade, melhor o material conduz a corrente. Na tabela, o cobre tem uma resistividade de
e o alumínio
. Isso já nos mostra que o cobre conduz melhor que o alumínio.
Passo 3
Agora, vamos entender o efeito pelicular. Em correntes alternadas (como os 60 Hz do exercício), a corrente não percorre todo o fio, mas se concentra na superfície. Isso reduz a área efetiva da seção transversal do fio, aumentando a resistência. Esse efeito é mais pronunciado em altas frequências, mas mesmo em 60 Hz já podemos notar.
A profundidade de penetração do efeito pelicular (
) é dada por:
onde:
-
é a resistividade, -
é a permeabilidade magnética, -
é a frequência angular.
Como a permeabilidade (
) é 1 para ambos os materiais, podemos simplificar e ver que
depende diretamente de
e inversamente da frequência.
Passo 4
Precisamos igualar as perdas de energia nos dois fios. As perdas por efeito Joule são dadas por:
Como queremos
, temos:
Cancelando
, fica:
A resistência
de um fio é:
onde
é o comprimento e
a área da seção transversal.
Considerando o efeito pelicular, a área efetiva
é proporcional à superfície do fio. Se o fio é circular, a área efetiva pode ser aproximada por
, onde
é o diâmetro.
Igualando as resistências:
Simplificando, já que
e
são iguais:
Substituindo
:
Simplificando mais:
Daqui, podemos relacionar os diâmetros:
Substituindo os valores:
Isso significa que o fio de alumínio precisa ter um diâmetro cerca de 32% maior que o de cobre para ter as mesmas perdas.
Passo 5
Vamos agora analisar quantitativamente o custo e a massa dos fios. O preço do cobre é R$15,33/kg e o do alumínio é R$3,89/kg. Como o alumínio é mais barato, mesmo precisando de mais material, ele pode ser mais econômico.
Considerando a densidade (
):
Para fios com áreas proporcionais (
), se
, então:
Portanto, o alumínio precisa de cerca de 75% mais volume, mas com densidade menor:
Comparando com o cobre:
Apesar da maior área, o alumínio ainda pesa menos por unidade de comprimento e é mais barato.
Resposta
Concluindo, para garantir perdas iguais em fios de cobre e alumínio operando a 60 Hz com efeito pelicular considerado, o fio de alumínio deve ter aproximadamente 32% a mais de diâmetro que o de cobre. Além disso, o alumínio oferece vantagens econômicas significativas devido ao seu menor custo por quilograma e menor massa, tornando-o uma opção viável para distribuição de energia elétrica apesar de sua maior resistividade.