Faça uma comparação detalhada, qualitativa e quantitativa, das propriedade de fios de cobre e alumínio para serem usados na distribuição de energia elétrica operando na freqüência de 60 Hz . Considere que as perdas em ambos os fios devem ser iguais e considere o efeito pelicular.
Tabela I. Dados do alumínio e cobre
rho(g / cm 3) rho ( n Omega m ) Preço (R$/kg) /kg) |
Cobre 8,95 17 15,33 1,0
Alumínio 2,70 29 3,89 1,0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente comparar de forma detalhada, tanto qualitativa quanto quantitativa, os fios de cobre e alumínio que são usados para distribuir energia elétrica em 60 Hz. A ideia é garantir que as perdas de energia em ambos os fios sejam iguais e levar em conta o efeito pelicular, que acontece em correntes alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como resistividade, densidade, custo dos materiais e como o efeito pelicular impacta a resistência dos fios.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre resistividade elétrica (ρ). Ela indica o quanto um material resiste ao fluxo de eletricidade. Quanto menor a resistividade, melhor o material conduz a corrente. Na tabela, o cobre tem uma resistividade de e o alumínio . Isso já nos mostra que o cobre conduz melhor que o alumínio.

Passo 3

Agora, vamos entender o efeito pelicular. Em correntes alternadas (como os 60 Hz do exercício), a corrente não percorre todo o fio, mas se concentra na superfície. Isso reduz a área efetiva da seção transversal do fio, aumentando a resistência. Esse efeito é mais pronunciado em altas frequências, mas mesmo em 60 Hz já podemos notar.
A profundidade de penetração do efeito pelicular ( de) é dada por:
onde:
  • é a resistividade,
  • é a permeabilidade magnética,
  • é a frequência angular.
Como a permeabilidade ( ) é 1 para ambos os materiais, podemos simplificar e ver que depende diretamente de e inversamente da frequência.

Passo 4

Precisamos igualar as perdas de energia nos dois fios. As perdas por efeito Joule são dadas por:
P = I^2 R
Como queremos I^2 Rcobre = I^2 Ralumínio í, temos:
Rcobre = Ralumínio í
Cancelando R = rho lA , fica:
rhocobre lpi dcobre deí
A resistência rhocobredcobre de de um fio é:
rhocobredcobre raiz2 rhocobremu omega = rhoalumíniodalumínio raiz2 rhoalumíniomu omega
onde raizrhocobredcobre = raizrhoalumíniodalumínio é o comprimento e dalumínio = dcobre times raizrhoalumíniorhocobre a área da seção transversal.
Considerando o efeito pelicular, a área efetiva dalumínio = dcobre times raiz2917 approx dcobre times 1.32 é proporcional à superfície do fio. Se o fio é circular, a área efetiva pode ser aproximada por , onde é o diâmetro.
Igualando as resistências:
ííí
Simplificando, já que e são iguais:
ííí
Substituindo :
ííí
Simplificando mais:
íí
Daqui, podemos relacionar os diâmetros:
íí
Substituindo os valores:
í
Isso significa que o fio de alumínio precisa ter um diâmetro cerca de 32% maior que o de cobre para ter as mesmas perdas.

Passo 5

Vamos agora analisar quantitativamente o custo e a massa dos fios. O preço do cobre é R$15,33/kg e o do alumínio é R$3,89/kg. Como o alumínio é mais barato, mesmo precisando de mais material, ele pode ser mais econômico.
Considerando a densidade ( 15,33/kg e o do alumínio é R):
Massa = rhomassa times V
Para fios com áreas proporcionais ( AalumínioAcobre = (1.321)^2 approx 1.75 ), se Massaalumínio = 1.75 times 2.70 = 4.73 , g/cm^3 í, então:
Massacobre = 1 times 8.95 = 8.95 , g/cm^3 í
Portanto, o alumínio precisa de cerca de 75% mais volume, mas com densidade menor:
í
Comparando com o cobre:
Apesar da maior área, o alumínio ainda pesa menos por unidade de comprimento e é mais barato.

Resposta

Concluindo, para garantir perdas iguais em fios de cobre e alumínio operando a 60 Hz com efeito pelicular considerado, o fio de alumínio deve ter aproximadamente 32% a mais de diâmetro que o de cobre. Além disso, o alumínio oferece vantagens econômicas significativas devido ao seu menor custo por quilograma e menor massa, tornando-o uma opção viável para distribuição de energia elétrica apesar de sua maior resistividade.

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