Faça um estudo completo das funções abaixo, incluindo: raízes, intercepto y, assintotas horizontais e verticais, os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Conclua esboçando um gráfico detalhado da função, incluindo as coordenadas de todos os pontos importantes.
f(x)=2 x-3 x^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função
f(x)=2x-3x^{2/3}
Inclui-se domínio, raízes, intercepto em y, assintotas, pontos críticos, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e por fim um esboço do gráfico com as coordenadas dos pontos relevantes. Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda, análise de sinal e limites.

Passo 2

O domínio de f é todo \mathbb{R} porque x^{2/3}=(\sqrt[3]{x})^2 existe para todo x\in\mathbb{R}.
Raízes de f(x)=0:
2x-3x^{2/3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2/3}(2x^{1/3}-3)=0
Daí x^{2/3}=0\Rightarrow x=0 ou 2x^{1/3}-3=0\Rightarrow x=27/8.
Intercepto em y: \;f(0)=0, ou seja, ponto (0,0).

Passo 3

Não há assintotas verticais porque o domínio é todo \mathbb{R}.
Para x\to\pm\infty,
\frac{f(x)}{x}=\;2-3x^{-1/3}\;\longrightarrow\;2,
mas
f(x)-2x=-3x^{2/3}\;\longrightarrow\;-\infty,
logo não existem nem horizontais nem oblíquas com coeficiente linear finito.

Passo 4

Derivada primeira:
f'(x)=2-\;3\!\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3} =2-2x^{-1/3}.
Pontos onde f' se anula ou não existe:
f'(x)=0\iff2=2x^{-1/3}\iff x=1,
e f' é indefinida em x=0.
Análise de sinal de f'(x)=2-2/x^{1/3}:
para x<0, x^{1/3}<0 implica f'(x)>0;
para 0<x<1, x^{1/3}<1 implica f'(x)<0;
para x>1, x^{1/3}>1 implica f'(x)>0.
Assim f cresce em (-\infty,0), decresce em (0,1) e cresce em (1,\infty).

Passo 5

Derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2-2x^{-1/3}\bigr) =-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)x^{-4/3} =\tfrac{2}{3}x^{-4/3}.
Como x^{-4/3}>0 para todo x\neq0, segue f''(x)>0 em \mathbb{R}\setminus\{0\}. Portanto a concavidade é para cima em toda a reta, sem mudança de sinal, logo não há ponto de inflexão.

Passo 6

Extremos locais:
em x=0 a derivada muda de positiva (à esquerda) para negativa (à direita), logo há um máximo local em (0,0) — na verdade uma cúspide.
em x=1 a derivada muda de negativa para positiva, logo há um mínimo local em
\bigl(1,f(1)\bigr)=\bigl(1,2-3\cdot1^{2/3}\bigr)=(1,-1).

Passo 7

Esboço do gráfico — principais pontos e comportamento:
\bullet começa em (-\infty,-\infty), cresce (côncava para cima) até a cúspide em (0,0), depois desce (côncava para cima) até o fundo em (1,-1) e finalmente cresce sem limite.
Raízes em (0,0) e (\frac{27}{8},0), máximo local em (0,0), mínimo local em (1,-1). Concavidade para cima em todo lugar, sem assíntotas.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Raízes: x=0 e x=27/8.
Intercepto em y: (0,0).
Sem assintotas.
f'(x)=2-2x^{-1/3} \Rightarrow crescimento em (-\infty,0) e (1,\infty), decrescimento em (0,1).
Máximo local em (0,0), mínimo local em (1,-1).
f''(x)=\tfrac{2}{3}x^{-4/3}>0 \Rightarrow concavidade para cima em \mathbb{R}\setminus\{0\}, sem ponto de inflexão.
Gráfico: cresce até uma cúspide em (0,0), desce ao ponto (1,-1), depois cresce indefinidamente, passando por (27/8,0).

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