Faça um estudo completo das funções abaixo, incluindo: raízes, intercepto y, assintotas horizontais e verticais, os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Conclua esboçando um gráfico detalhado da função, incluindo as coordenadas de todos os pontos importantes.
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
Inclui-se domínio, raízes, intercepto em
, assintotas, pontos críticos, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e por fim um esboço do gráfico com as coordenadas dos pontos relevantes. Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda, análise de sinal e limites.
Passo 2
O domínio de
é todo
porque
existe para todo
.
Raízes de :
Raízes de
Daí
ou
.
Intercepto em :
, ou seja, ponto
.
Intercepto em
Passo 3
Não há assintotas verticais porque o domínio é todo
.
Para ,
Para
mas
logo não existem nem horizontais nem oblíquas com coeficiente linear finito.
Passo 4
Derivada primeira:
Pontos onde
se anula ou não existe:
e
é indefinida em
.
Análise de sinal de :
para ,
implica
;
para ,
implica
;
para ,
implica
.
Assim cresce em
, decresce em
e cresce em
.
Análise de sinal de
para
para
para
Assim
Passo 5
Derivada segunda:
Como
para todo
, segue
em
. Portanto a concavidade é para cima em toda a reta, sem mudança de sinal, logo não há ponto de inflexão.
Passo 6
Extremos locais:
em a derivada muda de positiva (à esquerda) para negativa (à direita), logo há um máximo local em
— na verdade uma cúspide.
em a derivada muda de negativa para positiva, logo há um mínimo local em
em
em
Passo 7
Esboço do gráfico — principais pontos e comportamento:
começa em
, cresce (côncava para cima) até a cúspide em
, depois desce (côncava para cima) até o fundo em
e finalmente cresce sem limite.
Raízes em
e
, máximo local em
, mínimo local em
. Concavidade para cima em todo lugar, sem assíntotas.
Resposta
Domínio:
.
Raízes: e
.
Intercepto em :
.
Sem assintotas.
crescimento em
e
, decrescimento em
.
Máximo local em , mínimo local em
.
concavidade para cima em
, sem ponto de inflexão.
Gráfico: cresce até uma cúspide em , desce ao ponto
, depois cresce indefinidamente, passando por
.
Raízes:
Intercepto em
Sem assintotas.
Máximo local em
Gráfico: cresce até uma cúspide em