Abaixo são dadas as derivadas das funções. Determine os seus pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais:
f(x)=x^{-1 / 3}(x-3).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{-1/3}(x-3)
e pede os pontos críticos, os intervalos em que f cresce ou decresce e os extremos locais. Vamos usar derivação (produto e potência) para estudar a monotonicidade de f.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f: como há x^{-1/3}, precisamos de x\neq0. Em seguida, simplificamos
f(x)=x\cdot x^{-1/3}-3\,x^{-1/3}=x^{2/3}-3\,x^{-1/3}.
Agora derivamos usando regra da potência: para x^{2/3} vem \tfrac{2}{3}x^{-1/3} e para -3x^{-1/3} vem -3\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)x^{-4/3}=x^{-4/3}. Assim,
f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}+x^{-4/3} =\frac{2x+3}{3\,x^{4/3}}.

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou onde f' é indefinida mas f está definida.
  1. f'(x)=0 2x+3=0, logo x=-\tfrac{3}{2}.
  2. f' é indefinida em x=0, mas aí f também não existe.
    Portanto o único ponto crítico na região do domínio é
x=-\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Para estudar o sinal de f'(x)=\dfrac{2x+3}{3\,x^{4/3}}, notamos que x^{4/3}>0 para todo x\neq0. Assim o sinal de f' vem de 2x+3:
  • Se x<-\tfrac{3}{2}, então 2x+3<0 e f'(x)<0, ou seja, f decresce em (-\infty,-\tfrac{3}{2}).
  • Se -\tfrac{3}{2}<x<0, então 2x+3>0 e f'(x)>0, ou seja, f cresce em (-\tfrac{3}{2},0).
  • Se x>0, também 2x+3>0 e f'(x)>0, logo f cresce em (0,\infty).

Passo 5

Em x=-\tfrac{3}{2} a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. Calculamos
f\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) =\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2/3}-3\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^{-1/3} =\frac{9}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}}.

Resposta

Pontos críticos: x=-\tfrac{3}{2}.
Intervalos de crescimento: \bigl(-\tfrac{3}{2},0\bigr) e (0,\infty).
Intervalo de decrescimento: (-\infty,-\tfrac{3}{2}).
Extremo local: mínimo em x=-\tfrac{3}{2} com valor
f\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)=\frac{9}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}}.

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