Abaixo são dadas as derivadas das funções. Determine os seus pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os pontos críticos, os intervalos em que
cresce ou decresce e os extremos locais. Vamos usar derivação (produto e potência) para estudar a monotonicidade de
.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio de
: como há
, precisamos de
. Em seguida, simplificamos
Agora derivamos usando regra da potência: para
vem
e para
vem
. Assim,
Passo 3
Os pontos críticos são onde
ou onde
é indefinida mas
está definida.
-
dá , logo . -
é indefinida em , mas aí também não existe.
Portanto o único ponto crítico na região do domínio é
Passo 4
Para estudar o sinal de
, notamos que
para todo
. Assim o sinal de
vem de
:
- Se
, então e , ou seja, decresce em . - Se
, então e , ou seja, cresce em . - Se
, também e , logo cresce em .
Passo 5
Em
a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. Calculamos
Resposta
Pontos críticos:
.
Intervalos de crescimento: e
.
Intervalo de decrescimento: .
Extremo local: mínimo em com valor
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Extremo local: mínimo em