Faça um estudo completo das funções abaixo, incluindo: raízes, intercepto y, assintotas horizontais e verticais, os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Conclua esboçando um gráfico detalhado da função, incluindo as coordenadas de todos os pontos importantes.
f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-2}, x \neq 2.

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função racional
f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-2},\quad x\neq2,
incluindo domínio, raízes, intercepto em y, assintotas, derivadas para encontrar monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e inflexões, e por fim um esboço do gráfico com todos os pontos importantes.

Passo 2

Determinar domínio, raízes e intercepto em y.
– O domínio é \mathbb{R}\setminus\{2\}.
– As raízes vêm de x^{2}-3=0, logo
x=\pm\sqrt{3}.
– O intercepto em y é f(0)=(-3)/(0-2)=3/2, ou seja, o ponto (0,3/2).

Passo 3

Encontrar assintotas.
– Há assintota vertical em x=2 pois o denominador se anula aí.
– Ao aproximar x\to2^{-}, x-2<0 pequeno, f(x)\to-\infty.
– Ao aproximar x\to2^{+}, x-2>0 pequeno, f(x)\to+\infty.
– Como grau do numerador (2) é maior que do denominador (1), há assintota oblíqua. Dividindo:
\frac{x^{2}-3}{x-2}=x+2+\frac{1}{x-2}.
Logo a assintota é
y=x+2.

Passo 4

Calcular a primeira derivada e achar pontos críticos.
Usando regra do quociente,
f'(x) =\frac{2x\,(x-2)-(x^{2}-3)\cdot1}{(x-2)^{2}} =\frac{x^{2}-4x+3}{(x-2)^{2}} =\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^{2}}.
Zeramos o numerador para achar candidatos a extremos: x=1 e x=3.

Passo 5

Analisar sinal de f' e classificar extremos.
Como (x-2)^{2}>0 para todo x\neq2, o sinal de f' é o de (x-1)(x-3):
  • Em (-\infty,1), f'>0 (crescente).
  • Em (1,2) e (2,3), f'<0 (decrescente).
  • Em (3,\infty), f'>0 (crescente).
Calculando valores:
f(1)=\frac{1-3}{1-2}=2, \quad f(3)=\frac{9-3}{3-2}=6.
Logo em x=1 ocorre máximo local em (1,2), e em x=3 ocorre mínimo local em (3,6).

Passo 6

Segunda derivada e concavidade.
Diferenciando
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[\,(x^{2}-4x+3)(x-2)^{-2}\Bigr] =\frac{2}{(x-2)^{3}}.
– Para x<2, (x-2)^{3}<0, então f''<0: concavidade para baixo em (-\infty,2).
– Para x>2, (x-2)^{3}>0, então f''>0: concavidade para cima em (2,\infty).
Não há ponto de inflexão no domínio (nenhuma raiz de f''(x)=0).

Passo 7

Resumo dos resultados e esboço do gráfico:
• Domínio: \mathbb{R}\setminus\{2\}.
• Raízes: \bigl(-\sqrt{3},0\bigr) e \bigl(\sqrt{3},0\bigr).
• Intercepto em y: (0,3/2).
• Assintotas: vertical x=2; oblíqua y=x+2.
• Monotonia: cresce em (-\infty,1), decresce em (1,2)\cup(2,3), cresce em (3,\infty).
• Extremos: máximo local em (1,2); mínimo local em (3,6).
• Concavidade: para baixo em (-\infty,2); para cima em (2,\infty).
Esboço aproximado (cada ramo tende à linha y=x+2 e explode em x=2):
     |
  8  |                          ···
     |                       ··    ···
  6  |          (3,6) ······         ···  
     |                   ·              ·  
  4  |                ··                 ·  
f(x) | ·· (1,2) ··
2 | ·· · (0,1.5) ·· (√3,0)
|······· ·
0 ±—±---±—±---±—±---±—+
-2 -1 0 1 2 3 4 5
·(−√3,0)
ramo à esquerda
concavo para baixo
tende a y=x+2

Resposta

Segue o resumo dos pontos principais para o esboço final:
Domínio: \mathbb{R}\setminus\{2\}
Raízes: \bigl(-\sqrt{3},0\bigr), \bigl(\sqrt{3},0\bigr)
Intercepto em y: (0,3/2)
Assintotas: vertical x=2, oblíqua y=x+2
Extremos: máximo local em (1,2), mínimo local em (3,6)
Monotonia:
– crescente em (-\infty,1) e (3,\infty)
– decrescente em (1,2)\cup(2,3)
Concavidade:
– para baixo em (-\infty,2)
– para cima em (2,\infty)

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