Faça um estudo completo das funções abaixo, incluindo: raízes, intercepto y, assintotas horizontais e verticais, os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Conclua esboçando um gráfico detalhado da função, incluindo as coordenadas de todos os pontos importantes.
.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função racional
incluindo domínio, raízes, intercepto em
, assintotas, derivadas para encontrar monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e inflexões, e por fim um esboço do gráfico com todos os pontos importantes.
Passo 2
Determinar domínio, raízes e intercepto em
.
– O domínio é .
– As raízes vêm de , logo
– O domínio é
– As raízes vêm de
– O intercepto em
é
, ou seja, o ponto
.
Passo 3
Encontrar assintotas.
– Há assintota vertical em pois o denominador se anula aí.
– Ao aproximar ,
pequeno,
.
– Ao aproximar ,
pequeno,
.
– Como grau do numerador (2) é maior que do denominador (1), há assintota oblíqua. Dividindo:
– Há assintota vertical em
– Ao aproximar
– Ao aproximar
– Como grau do numerador (2) é maior que do denominador (1), há assintota oblíqua. Dividindo:
Logo a assintota é
Passo 4
Calcular a primeira derivada e achar pontos críticos.
Usando regra do quociente,
Usando regra do quociente,
Zeramos o numerador para achar candidatos a extremos:
e
.
Passo 5
Analisar sinal de
e classificar extremos.
Como para todo
, o sinal de
é o de
:
Como
- Em
, (crescente). - Em
e , (decrescente). - Em
, (crescente).
Calculando valores:
Logo em
ocorre máximo local em
, e em
ocorre mínimo local em
.
Passo 6
Segunda derivada e concavidade.
Diferenciando
Diferenciando
– Para
,
, então
: concavidade para baixo em
.
– Para ,
, então
: concavidade para cima em
.
Não há ponto de inflexão no domínio (nenhuma raiz de ).
– Para
Não há ponto de inflexão no domínio (nenhuma raiz de
Passo 7
Resumo dos resultados e esboço do gráfico:
• Domínio: .
• Raízes: e
.
• Intercepto em :
.
• Assintotas: vertical ; oblíqua
.
• Monotonia: cresce em , decresce em
, cresce em
.
• Extremos: máximo local em ; mínimo local em
.
• Concavidade: para baixo em ; para cima em
.
• Domínio:
• Raízes:
• Intercepto em
• Assintotas: vertical
• Monotonia: cresce em
• Extremos: máximo local em
• Concavidade: para baixo em
Esboço aproximado (cada ramo tende à linha
e explode em
):
|
8 | ···
| ·· ···
6 | (3,6) ······ ···
| · ·
4 | ·· ·
f(x) | ·· (1,2) ··
2 | ·· · (0,1.5) ·· (√3,0)
|······· ·
0 ±—±---±—±---±—±---±—+
-2 -1 0 1 2 3 4 5
·(−√3,0)
ramo à esquerda
concavo para baixo
tende a y=x+2
2 | ·· · (0,1.5) ·· (√3,0)
|······· ·
0 ±—±---±—±---±—±---±—+
-2 -1 0 1 2 3 4 5
·(−√3,0)
ramo à esquerda
concavo para baixo
tende a y=x+2
Resposta
Segue o resumo dos pontos principais para o esboço final:
Domínio:
Raízes: ,
Intercepto em :
Assintotas: vertical , oblíqua
Extremos: máximo local em , mínimo local em
Monotonia:
– crescente em e
– decrescente em
Concavidade:
– para baixo em
– para cima em
Raízes:
Intercepto em
Assintotas: vertical
Extremos: máximo local em
Monotonia:
– crescente em
– decrescente em
Concavidade:
– para baixo em
– para cima em