Use o Teste da Segunda Derivada para avaliar se os pontos críticos das funções abaixo são extremos locais:
f(x)=x^{2 / 3}(x+2)

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Segunda Derivada a fim de classificar os extremos locais da função
f(x)=x^{2/3}(x+2).
O conteúdo envolvido é: encontrar pontos críticos via f'(x)=0 ou f' não existir, calcular f''(x) e aplicar o sinal de f'' nesses pontos.

Passo 2

Calcular f'(x) por regra do produto. Tomando
u(x)=x^{2/3},\quad v(x)=x+2,
temos
u'(x)=\tfrac{2}{3}x^{-1/3},\quad v'(x)=1.
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f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =\tfrac{2}{3}x^{-1/3}(x+2)+x^{2/3} =\tfrac{1}{3}x^{-1/3}(5x+4).

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 e de onde f' não está definida.
  1. f'(x)=0 5x+4=0, ou seja x=-\tfrac{4}{5}.
  2. f' não existe quando x=0 (fica x^{-1/3} no denominador).
    Portanto, os pontos críticos são x=-\tfrac{4}{5} e x=0.

Passo 4

Derivar f'(x)=\tfrac{5}{3}x^{2/3}+\tfrac{4}{3}x^{-1/3}.
f''(x) =\tfrac{5}{3}\cdot\tfrac{2}{3}x^{-1/3} +\tfrac{4}{3}\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)x^{-4/3} =\tfrac{10}{9}x^{-1/3}-\tfrac{4}{9}x^{-4/3} =\frac{10x-4}{9\,x^{4/3}}.

Passo 5

Aplicar o Teste da Segunda Derivada em x=-\tfrac{4}{5}:
f''\!\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr) =\frac{10(-\tfrac{4}{5})-4}{9\,(-\tfrac{4}{5})^{4/3}} =\frac{-8-4}{9\cdot(\text{positivo})} <0.
Como f''<0, a concavidade é para baixo e x=-\tfrac{4}{5} é um ponto de máximo local.

Passo 6

Em x=0 temos f'' indefinida, portanto o Teste da Segunda Derivada não se aplica ali (não dá para concluir extremo local apenas com f'').

Resposta

Em x=-\tfrac{4}{5} a função tem um máximo local.
Em x=0 o Teste da Segunda Derivada é inconclusivo e não indica extremo local.

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