Faça o estudo completo das seguintes funções: 
 
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Precisamos fazer o estudo completo da função 
 . Isso significa que vamos analisar vários aspectos dessa função, como domínio, zeros, comportamento crescente ou decrescente, pontos de máximo e mínimo, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de derivadas e análise de funções polinomiais.
Passo 2
Domínio da função: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de 
  para os quais a função está definida. Como 
  é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Zeros da função: Os zeros são os valores de 
  que tornam 
 . Para encontrar os zeros:
Portanto, a função possui um zero em 
 .
Passo 4
Comportamento crescente e decrescente: Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, calculamos a primeira derivada 
 :
Analisando o sinal de 
 :
- 
para todo .  - 
apenas em .  
Portanto, a função é crescente em todo o seu domínio, já que a derivada é sempre não negativa e nunca negativa exceto em um ponto.
Passo 5
Pontos de máximo e mínimo: Pontos de máximo ou mínimo ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Aqui, 
  apenas em 
 .
Analisando a segunda derivada para determinar a natureza do ponto:
Em 
 :
Como a segunda derivada também é zero, não podemos concluir se é máximo ou mínimo. Porém, observando o comportamento da função, vemos que 
  é um ponto de inflexão.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão: A concavidade da função é determinada pela segunda derivada 
 :
- Se 
, a função é côncava para cima.  - Se 
, a função é côncava para baixo.  
Encontramos um ponto de inflexão onde 
 , ou seja, em 
 .
Portanto:
- Para 
: → concavidade para cima.  - Para 
: → concavidade para baixo.  
Passo 7
Comportamento para 
  tendendo a 
  e 
 :
- Quando 
, .  - Quando 
, .  
Assíntotas: Como a função é um polinômio de grau 3, não possui assíntotas horizontais ou verticais.
Passo 8
Esboço do gráfico: Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico da função 
 :
- Passa pelo ponto (1, 0).
 - É crescente em todo o domínio.
 - Possui um ponto de inflexão em 
.  - Concavidade muda de para baixo para para cima em 
.  - O gráfico se estende para 
e conforme aumenta ou diminui.  
Resposta
A função 
  possui domínio em todos os números reais, tem um zero em 
 , é crescente em todo o domínio, possui um ponto de inflexão em 
 , muda a concavidade nesse ponto e não possui assíntotas. O gráfico é uma curva crescente que passa por (1,0) e se estende para 
  e 
 .