Faça a expansão em frações parciais (use a função residue): Todos os cálculos de todos os exercícios devem ser resolvidos: a) manualmente e b) com o Matlab. Verifique se as respostas são idênticas. G_{8}=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+6 s+34\right)}
Passo 1
O enunciado pede a expansão em frações parciais de
G_{8}(s)=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+6s+34\right)}
usando a função residue. Temos que:
Determinar as singularidades (polos) de G_{8}(s).
Calcular as respectivas residências (resíduos) manualmente usando a definição de resíduo para polos simples.
Escrever a expansão em frações parciais em forma real (coeficientes reais).
Fazer o mesmo com o MATLAB usando a função \texttt{residue} e verificar se os resultados coincidem.
Informações dadas no enunciado: a função racional acima. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Encontrar os polos (raízes do denominador). O denominador é s\left(s^{2}+6s+34\right). As raízes são:
Polo em s=0.
Os polos da quadrática s^{2}+6s+34. Calculamos suas raízes pela fórmula quadrática:
Logo os polos são s_{1}=0, s_{2}=-3+5i e s_{3}=-3-5i. Observação: s_{2} e s_{3} são conjugados e correspondem à quadrática irreduzível que pode ser escrita como
s^{2}+6s+34=(s+3)^{2}+5^{2}.
Passo 3
Relembrando o método de resíduos (aula rápida):
Para um polo simples p, o resíduo de G(s) em s=p é
\operatorname{Res}(G,p)=\lim_{s\to p}(s-p)G(s).
Se todos os polos são simples, a expansão em frações parciais pode ser escrita como soma de termos \dfrac{\operatorname{Res}(G,p)}{s-p}.
Se quisermos uma forma com denominador quadrático real, combinamos os termos complexos conjugados em um termo real da forma \dfrac{Bs+C}{s^{2}+6s+34}.
Portanto o termo correspondente é \dfrac{5/17}{s}.
Passo 5
Calcular os resíduos nos polos complexos s_{2}=-3+5i e s_{3}=-3-5i (manual).
Usamos a definição para polos simples; como o denominador fatorado é s(s-s_{2})(s-s_{3}), para p=s_{2}:
Decomposição final mais agradável (com completamento do quadrado), útil também para transformadas inversas de Laplace:
Escrevemos s^{2}+6s+34=(s+3)^{2}+5^{2} e reescrevemos o numerador da segunda fração:
Isto coincide exatamente com os resíduos que calculámos manualmente (5/17 e (-5\pm14i)/34). O MATLAB também pode reconstruir a forma com polinômios reais combinando os termos conjugados, obtendo A=\dfrac{5}{17}, B=-\dfrac{5}{17}, C=\dfrac{55}{17}, o que coincide com nossa obtenção manual.]
Passo 10
Comparação final e conclusão:
Os resíduos manuais e os obtidos pelo MATLAB são os mesmos (mesmas frações exatas e conjugados complexos).
A forma com coeficientes reais também bate: A=\dfrac{5}{17}, B=-\dfrac{5}{17}, C=\dfrac{55}{17}.
Portanto a expansão em frações parciais está correta e verificada pelo MATLAB.