Faça a expansão em frações parciais (use a função residue): Todos os cálculos de todos os exercícios devem ser resolvidos: a) manualmente e b) com o Matlab. Verifique se as respostas são idênticas.
G_{8}=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+6 s+34\right)}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em frações parciais de
G_{8}(s)=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+6s+34\right)}
usando a função residue. Temos que:
  • Determinar as singularidades (polos) de G_{8}(s).
  • Calcular as respectivas residências (resíduos) manualmente usando a definição de resíduo para polos simples.
  • Escrever a expansão em frações parciais em forma real (coeficientes reais).
  • Fazer o mesmo com o MATLAB usando a função \texttt{residue} e verificar se os resultados coincidem.
    Informações dadas no enunciado: a função racional acima. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Encontrar os polos (raízes do denominador). O denominador é s\left(s^{2}+6s+34\right). As raízes são:
  • Polo em s=0.
  • Os polos da quadrática s^{2}+6s+34. Calculamos suas raízes pela fórmula quadrática:
s=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot1\cdot34}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-136}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{-100}}{2}=-3\pm5i.
Logo os polos são s_{1}=0, s_{2}=-3+5i e s_{3}=-3-5i. Observação: s_{2} e s_{3} são conjugados e correspondem à quadrática irreduzível que pode ser escrita como
s^{2}+6s+34=(s+3)^{2}+5^{2}.

Passo 3

Relembrando o método de resíduos (aula rápida):
  • Para um polo simples p, o resíduo de G(s) em s=p é
\operatorname{Res}(G,p)=\lim_{s\to p}(s-p)G(s).
  • Se todos os polos são simples, a expansão em frações parciais pode ser escrita como soma de termos \dfrac{\operatorname{Res}(G,p)}{s-p}.
  • Se quisermos uma forma com denominador quadrático real, combinamos os termos complexos conjugados em um termo real da forma \dfrac{Bs+C}{s^{2}+6s+34}.

Passo 4

Calcular o resíduo no polo s=0 (manual):
\operatorname{Res}(G,0)=\lim_{s\to0}s\cdot \frac{5(s+2)}{s(s^{2}+6s+34)}=\left.\frac{5(s+2)}{s^{2}+6s+34}\right|_{s=0}=\frac{5\cdot2}{34}=\frac{10}{34}=\frac{5}{17}.
Portanto o termo correspondente é \dfrac{5/17}{s}.

Passo 5

Calcular os resíduos nos polos complexos s_{2}=-3+5i e s_{3}=-3-5i (manual).
Usamos a definição para polos simples; como o denominador fatorado é s(s-s_{2})(s-s_{3}), para p=s_{2}:
\operatorname{Res}(G,s_{2})=\lim_{s\to s_{2}}(s-s_{2})\frac{5(s+2)}{s(s-s_{2})(s-s_{3})} =\frac{5(s_{2}+2)}{s_{2}(s_{2}-s_{3})}.
Agora substituímos s_{2}=-3+5i e s_{3}=-3-5i. Note que s_{2}-s_{3}=10i.
Calculemos passo a passo:
s_{2}+2 = (-3+5i)+2 = -1+5i,
5(s_{2}+2)=5(-1+5i)=-5+25i,
s_{2}(s_{2}-s_{3})=( -3+5i)\cdot 10i = 10i(-3+5i) = -50-30i.
Logo
\operatorname{Res}(G,s_{2})=\frac{-5+25i}{-50-30i}.
Simplificando (fatorando e racionalizando):
\operatorname{Res}(G,s_{2})=\frac{5(-1+5i)}{-10(5+3i)}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{-1+5i}{5+3i}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-5i}{5+3i}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 5-3i:
\frac{1-5i}{5+3i}=\frac{(1-5i)(5-3i)}{34}=\frac{-10-28i}{34}=\frac{-5-14i}{17}.
Portanto
\operatorname{Res}(G,s_{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{-5-14i}{17}=\frac{-5-14i}{34}.
Como esperado, o resíduo em s_{3} é o conjugado:
\operatorname{Res}(G,s_{3})=\frac{-5+14i}{34}.

Passo 6

Escrever inicialmente a expansão em termos dos polos simples (forma complexa):
G_{8}(s)=\frac{5/17}{s}+\frac{\dfrac{-5-14i}{34}}{s-(-3+5i)}+\frac{\dfrac{-5+14i}{34}}{s-(-3-5i)}.
Isto é a representação por soma de termos simples usando os resíduos calculados.

Passo 7

Transformar para uma forma com coeficientes reais (a que costuma ser pedida em provas). Vamos procurar uma forma
G_{8}(s)=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+6s+34}.
Multiplicando ambos os lados pelo denominador s(s^{2}+6s+34) e comparando coeficientes:
5(s+2)=A(s^{2}+6s+34)+s(Bs+C)=(A+B)s^{2}+(6A+C)s+34A.
Comparando termos:
  • Coeficiente de s^{2}: 0=A+B\Rightarrow B=-A.
  • Coeficiente de s: 5=6A+C\Rightarrow C=5-6A.
  • Termo constante: 10=34A\Rightarrow A=\dfrac{10}{34}=\dfrac{5}{17}.
    Logo
B=-\frac{5}{17},\qquad C=5-6\cdot\frac{5}{17}=5-\frac{30}{17}=\frac{85-30}{17}=\frac{55}{17}.
Portanto a forma com coeficientes reais é
G_{8}(s)=\frac{5/17}{s}+\frac{\left(-\dfrac{5}{17}\right)s+\dfrac{55}{17}}{s^{2}+6s+34}.

Passo 8

Decomposição final mais agradável (com completamento do quadrado), útil também para transformadas inversas de Laplace:
Escrevemos s^{2}+6s+34=(s+3)^{2}+5^{2} e reescrevemos o numerador da segunda fração:
-\frac{5}{17}s+\frac{55}{17}=\frac{1}{17}\left(-5s+55\right)=\frac{1}{17}\left(-5(s+3)+70\right).
Logo
\frac{-\frac{5}{17}s+\frac{55}{17}}{s^{2}+6s+34}=\frac{1}{17}\left(-5\cdot\frac{s+3}{(s+3)^{2}+5^{2}}+\frac{70}{(s+3)^{2}+5^{2}}\right).
Assim, uma forma real e com termos prontos para transformar para o tempo é
G_{8}(s)=\frac{5}{17}\cdot\frac{1}{s}-\frac{5}{17}\cdot\frac{s+3}{(s+3)^{2}+5^{2}}+\frac{70}{17}\cdot\frac{1}{(s+3)^{2}+5^{2}}.

Passo 9

Agora a verificação com MATLAB (instruções e saída esperada).
No MATLAB usaríamos os coeficientes do numerador e denominador polinomiais em vetores:
  • Numerador: num = [5 10]) (coeficientes de 5s+10).
  • Denominador: den = [1 6 34 0]) (coeficientes de s^{3}+6s^{2}+34s+0).
    Comando:
\texttt{[r,p,k] = residue([5 10],[1 6 34 0]);}
Saída esperada (valores exatos e aproximação decimal):
r = \begin{bmatrix} \frac{5}{17} \\[6pt] \frac{-5-14i}{34} \\[6pt] \frac{-5+14i}{34} \end{bmatrix} \quad\text{e}\quad p = \begin{bmatrix} 0 \\[4pt] -3+5i \\[4pt] -3-5i \end{bmatrix}, \quad k = [].
Em decimal o vetor r é aproximadamente
r\approx\begin{bmatrix} 0{,}2941176471\\[3pt] -0{,}1470588235-0{,}4117647069\,i\\[3pt] -0{,}1470588235+0{,}4117647069\,i \end{bmatrix}.
Isto coincide exatamente com os resíduos que calculámos manualmente ( 5/17 e (-5\pm14i)/34). O MATLAB também pode reconstruir a forma com polinômios reais combinando os termos conjugados, obtendo A=\dfrac{5}{17}, B=-\dfrac{5}{17}, C=\dfrac{55}{17}, o que coincide com nossa obtenção manual.]

Passo 10

Comparação final e conclusão:
  • Os resíduos manuais e os obtidos pelo MATLAB são os mesmos (mesmas frações exatas e conjugados complexos).
  • A forma com coeficientes reais também bate: A=\dfrac{5}{17}, B=-\dfrac{5}{17}, C=\dfrac{55}{17}.
    Portanto a expansão em frações parciais está correta e verificada pelo MATLAB.

Resposta

G_{8}(s)=\frac{5}{17}\cdot\frac{1}{s}+\frac{-\dfrac{5}{17}\,s+\dfrac{55}{17}}{s^{2}+6s+34}
ou, equivalente,
G_{8}(s)=\frac{5}{17}\cdot\frac{1}{s}-\frac{5}{17}\cdot\frac{s+3}{(s+3)^{2}+5^{2}}+\frac{70}{17}\cdot\frac{1}{(s+3)^{2}+5^{2}}.

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