Faça a expansão em frações parciais (use a função residue): Todos os cálculos de todos os exercícios devem ser resolvidos: a) manualmente e b) com o Matlab. Verifique se as respostas são idênticas. G_{6}=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+8 s+15\right)}
Passo 1
O enunciado pede que você faça a expansão em frações parciais de G_{6}(s)=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+8s+15\right)}
usando a função “residue” (método dos resíduos). São as tarefas: (1) calcular manualmente a expansão via resíduos; (2) mostrar como obter o mesmo resultado no Matlab (com os comandos e saída esperada); (3) verificar se os resultados manual e Matlab são idênticos. Informação dada: a expressão de G_{6}(s) acima. Não há outras condições.
Passo 2
Breve explicação do método dos resíduos (didática, sem pular etapas). Quando a função racional tem polos simples (cada polo aparece apenas uma vez no denominador), a expansão em frações parciais tem a forma
Essa fórmula vem da definição de resíduo para polo simples e é exatamente o “cover-up rule” (cobrir o fator correspondente no denominador e avaliar). Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Fatorar o denominador para identificar os polos. Primeiro fatoramos a parte quadrática:
s^{2}+8s+15=(s+3)(s+5).
Portanto o denominador completo é s(s+3)(s+5).
Passo 4
Identificar os polos (raízes do denominador): s=0,\quad s=-3,\quad s=-5.
São todos polos simples (cada fator aparece apenas uma vez).
Passo 5
Calcular o resíduo em s=0 usando a fórmula do polo simples:
Verificação algébrica por recomposição (para eu e você sentirmos segurança): recompondo as parcelas sobre o denominador comum s(s+3)(s+5) o numerador fica
Logo N(s)=5s+10=5(s+2), que é exatamente o numerador original. Verificação concluída: a expansão está correta.
Passo 10
Como fazer no Matlab (comandos e saída esperada). No Matlab usa-se a função residue com os vetores de coeficientes do polinômio numerador e denominador (ordem decrescente).
O numerador é 5s+10, vetor: [5\\\ 10].
O denominador é s(s+3)(s+5)=s^{3}+8s^{2}+15s, vetor: [1\\\ 8\\\ 15\\\ 0].
Comandos:
Polos p=\begin{bmatrix}0 \\[2pt] -3 \\[2pt] -5\end{bmatrix},
Quociente k= vetor vazio (nenhum termo polinomial próprio).
Esses resultados coincidem exatamente (em valores racionais) com os resíduos manuais \tfrac{2}{3},\tfrac{5}{6},-\tfrac{3}{2} e polos 0,-3,-5.]
Passo 11
Conclusão final e ânimo: a expansão manual via resíduos e a saída do Matlab são idênticas. Você pode usar qualquer um dos métodos em prova (manual por limite/cobrir o fator, ou com auxílio computacional quando permitido). Ótimo trabalho por chegar até aqui — repita esse processo algumas vezes com outras funções para fixar!