Faça a expansão em frações parciais (use a função residue): Todos os cálculos de todos os exercícios devem ser resolvidos: a) manualmente e b) com o Matlab. Verifique se as respostas são idênticas.
G_{6}=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+8 s+15\right)}

Passo 1

O enunciado pede que você faça a expansão em frações parciais de G_{6}(s)=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+8s+15\right)}
usando a função “residue” (método dos resíduos). São as tarefas: (1) calcular manualmente a expansão via resíduos; (2) mostrar como obter o mesmo resultado no Matlab (com os comandos e saída esperada); (3) verificar se os resultados manual e Matlab são idênticos. Informação dada: a expressão de G_{6}(s) acima. Não há outras condições.

Passo 2

Breve explicação do método dos resíduos (didática, sem pular etapas). Quando a função racional tem polos simples (cada polo aparece apenas uma vez no denominador), a expansão em frações parciais tem a forma
G_{6}(s)=\sum_{i}\frac{\operatorname{Res}\big(G_{6},s_i\big)}{s-s_i},
onde s_i são os polos e \operatorname{Res}(G_{6},s_i) é o resíduo em s_i. Para um polo simples s_0 a fórmula prática é
\operatorname{Res}\big(G_{6},s_0\big)=\lim_{s\to s_0}(s-s_0)G_{6}(s).
Essa fórmula vem da definição de resíduo para polo simples e é exatamente o “cover-up rule” (cobrir o fator correspondente no denominador e avaliar). Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Fatorar o denominador para identificar os polos. Primeiro fatoramos a parte quadrática:
s^{2}+8s+15=(s+3)(s+5).
Portanto o denominador completo é s(s+3)(s+5).

Passo 4

Identificar os polos (raízes do denominador): s=0,\quad s=-3,\quad s=-5.
São todos polos simples (cada fator aparece apenas uma vez).

Passo 5

Calcular o resíduo em s=0 usando a fórmula do polo simples:
\operatorname{Res}\big(G_{6},0\big)=\lim_{s\to 0} s\cdot \frac{5(s+2)}{s(s+3)(s+5)}=\lim_{s\to 0}\frac{5(s+2)}{(s+3)(s+5)}.
Agora avaliamos em s=0:
\operatorname{Res}\big(G_{6},0\big)=\frac{5(0+2)}{(0+3)(0+5)}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.
Portanto o coeficiente da parcela \dfrac{1}{s} é \dfrac{2}{3}.

Passo 6

Calcular o resíduo em s=-3:
\operatorname{Res}\big(G_{6},-3\big)=\lim_{s\to -3}(s+3)\cdot\frac{5(s+2)}{s(s+3)(s+5)}=\lim_{s\to -3}\frac{5(s+2)}{s(s+5)}.
Avalia em s=-3:
\operatorname{Res}\big(G_{6},-3\big)=\frac{5(-3+2)}{(-3)(-3+5)}=\frac{5(-1)}{(-3)(2)}=\frac{-5}{-6}=\frac{5}{6}.
Então o coeficiente da parcela \dfrac{1}{s+3} é \dfrac{5}{6}.

Passo 7

Calcular o resíduo em s=-5:
\operatorname{Res}\big(G_{6},-5\big)=\lim_{s\to -5}(s+5)\cdot\frac{5(s+2)}{s(s+3)(s+5)}=\lim_{s\to -5}\frac{5(s+2)}{s(s+3)}.
Avalia em s=-5:
\operatorname{Res}\big(G_{6},-5\big)=\frac{5(-5+2)}{(-5)(-5+3)}=\frac{5(-3)}{(-5)(-2)}=\frac{-15}{10}=-\frac{3}{2}.
Portanto o coeficiente da parcela \dfrac{1}{s+5} é -\dfrac{3}{2}.

Passo 8

Escrever a expansão em frações parciais com os resíduos encontrados. Pelo método dos resíduos:
\frac{5(s+2)}{s(s+3)(s+5)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s}+\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{s+3}-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{s+5}.
Essa é a forma desejada.

Passo 9

Verificação algébrica por recomposição (para eu e você sentirmos segurança): recompondo as parcelas sobre o denominador comum s(s+3)(s+5) o numerador fica
N(s)=\frac{2}{3}(s+3)(s+5)+\frac{5}{6}s(s+5)-\frac{3}{2}s(s+3).
Vamos calcular passo a passo (manter frações exatas):
Primeiro expande cada termo:
(s+3)(s+5)=s^{2}+8s+15.
Então
\frac{2}{3}(s^{2}+8s+15)=\frac{2}{3}s^{2}+\frac{16}{3}s+10.
Próximo:
\frac{5}{6}s(s+5)=\frac{5}{6}(s^{2}+5s)=\frac{5}{6}s^{2}+\frac{25}{6}s.
E
-\frac{3}{2}s(s+3)=-\frac{3}{2}(s^{2}+3s)=-\frac{3}{2}s^{2}-\frac{9}{2}s.
Somando os coeficientes de s^{2}:
\frac{2}{3}+\frac{5}{6}-\frac{3}{2}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}-\frac{9}{6}=0.
Somando os coeficientes de s:
\frac{16}{3}+\frac{25}{6}-\frac{9}{2}=\frac{32}{6}+\frac{25}{6}-\frac{27}{6}=\frac{30}{6}=5.
Somando os termos constantes:
10+0+0=10.
Logo N(s)=5s+10=5(s+2), que é exatamente o numerador original. Verificação concluída: a expansão está correta.

Passo 10

Como fazer no Matlab (comandos e saída esperada). No Matlab usa-se a função residue com os vetores de coeficientes do polinômio numerador e denominador (ordem decrescente).
O numerador é 5s+10, vetor: [5\\\ 10].
O denominador é s(s+3)(s+5)=s^{3}+8s^{2}+15s, vetor: [1\\\ 8\\\ 15\\\ 0].
Comandos:
\texttt{num = [5 10];}\newline \texttt{den = [1 8 15 0];}\newline \texttt{[r,p,k] = residue(num,den);}
Saída esperada (valores exatos e aproximações decimais):
Resíduos r=\begin{bmatrix}\tfrac{2}{3} \\[4pt] \tfrac{5}{6} \\[4pt] -\tfrac{3}{2}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}0{,}6667 \\[2pt] 0{,}8333 \\[2pt] -1{,}5000\end{bmatrix},
Polos p=\begin{bmatrix}0 \\[2pt] -3 \\[2pt] -5\end{bmatrix},
Quociente k= vetor vazio (nenhum termo polinomial próprio).
Esses resultados coincidem exatamente (em valores racionais) com os resíduos manuais \tfrac{2}{3},\tfrac{5}{6},-\tfrac{3}{2} e polos 0,-3,-5.]

Passo 11

Conclusão final e ânimo: a expansão manual via resíduos e a saída do Matlab são idênticas. Você pode usar qualquer um dos métodos em prova (manual por limite/cobrir o fator, ou com auxílio computacional quando permitido). Ótimo trabalho por chegar até aqui — repita esse processo algumas vezes com outras funções para fixar!

Resposta

\frac{5(s+2)}{s(s^{2}+8s+15)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s}+\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{s+3}-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{s+5}.
Resultados manuais e Matlab: idênticos.

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