Faça a expansão em frações parciais (use a função residue): Todos os cálculos de todos os exercícios devem ser resolvidos: a) manualmente e b) com o Matlab. Verifique se as respostas são idênticas. G_{7}=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+6 s+9\right)}
Passo 1
O enunciado pede para fazer a expansão em frações parciais de G_{7} usando a função residue. Devemos:
Fazer a expansão manualmente (usando o método de resíduos).
Fazer a mesma expansão no Matlab usando a função residue.
Verificar se os resultados são idênticos.
Dados fornecidos:
G_{7}=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+6 s+9\right)}
O que precisamos devolver:
A forma em frações parciais de G_{7} (coeficientes explicitados).
Os resultados do Matlab (resíduos, polos e termo direto) e a verificação de igualdade com a solução manual.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador para identificar polos e multiplicidades. Observamos:
s^{2}+6s+9=(s+3)^{2}.
Logo o denominador é s(s+3)^{2}. Portanto os polos são:
s=0, polo simples (multiplicidade 1);
s=-3, polo de ordem 2 (multiplicidade 2).
Passo 3
Escrevemos a forma canônica da expansão em frações parciais considerando um polo simples em s=0 e um polo duplo em s=-3:
Explicando a ideia de resíduos (fórmula para polo simples): para um polo simples em s=s_0 de uma função racional H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}, o coeficiente da fração \frac{1}{s-s_0} é
que recupera o numerador original. Assim a expansão está correta.
Passo 9
Agora mostramos como obter o mesmo resultado no Matlab usando residue. Código Matlab (cada linha é um comando):
residue_num = [5 10]\nresidue_den = [1 6 9 0]\n[r,p,k] = residue(residue_num,residue_den)\n
Explicação do código:
O numerador 5(s+2) corresponde ao polinômio [5\\\ 10] (coeficientes de s e termo constante).
O denominador s^{3}+6s^{2}+9s+0 (porque s(s+3)^{2}=s^{3}+6s^{2}+9s) corresponde a [1\\\ 6\\\ 9\\\ 0].
A função residue retorna vetores r (resíduos), p (polos) e k (termo direto/polinomial).
Interpretação: o Matlab fornece três pares (r_i,p_i). Os polos repetidos aparecem duas vezes com o mesmo valor -3; os resíduos correspondentes aos termos (s+3)^{-1} e (s+3)^{-2} são exatamente -\tfrac{10}{9} e \tfrac{5}{3}, na mesma combinação encontrada manualmente.]
Passo 10
Conclusão: a expansão manual obtida por resíduos e a saída do Matlab usando residue são idênticas (os resíduos, polos e ausência de termo direto conferem com os coeficientes manuais).