Faça a expansão em frações parciais (use a função residue): Todos os cálculos de todos os exercícios devem ser resolvidos: a) manualmente e b) com o Matlab. Verifique se as respostas são idênticas.
G_{7}=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+6 s+9\right)}

Passo 1

O enunciado pede para fazer a expansão em frações parciais de G_{7} usando a função residue. Devemos:
  • Fazer a expansão manualmente (usando o método de resíduos).
  • Fazer a mesma expansão no Matlab usando a função residue.
  • Verificar se os resultados são idênticos.
Dados fornecidos:
G_{7}=\frac{5(s+2)}{s\left(s^{2}+6 s+9\right)}
O que precisamos devolver:
  • A forma em frações parciais de G_{7} (coeficientes explicitados).
  • Os resultados do Matlab (resíduos, polos e termo direto) e a verificação de igualdade com a solução manual.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador para identificar polos e multiplicidades. Observamos:
s^{2}+6s+9=(s+3)^{2}.
Logo o denominador é s(s+3)^{2}. Portanto os polos são:
  • s=0, polo simples (multiplicidade 1);
  • s=-3, polo de ordem 2 (multiplicidade 2).

Passo 3

Escrevemos a forma canônica da expansão em frações parciais considerando um polo simples em s=0 e um polo duplo em s=-3:
G_{7}(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{(s+3)^{2}},
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Explicando a ideia de resíduos (fórmula para polo simples): para um polo simples em s=s_0 de uma função racional H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}, o coeficiente da fração \frac{1}{s-s_0} é
\text{Residue} = \lim_{s\to s_0} (s-s_0) H(s).
Aplicamos isso ao polo simples s=0 para achar A:
A=\lim_{s\to 0} s\cdot G_{7}(s) =\lim_{s\to 0} s\cdot \frac{5(s+2)}{s(s+3)^{2}} =\lim_{s\to 0} \frac{5(s+2)}{(s+3)^{2}}.
Agora avaliamos em s=0:
A=\frac{5(0+2)}{(0+3)^{2}}=\frac{10}{9}.

Passo 5

Explicando a fórmula para polo de ordem m: para um polo de ordem m em s=s_0, o coeficiente do termo (s-s_0)^{-m} é
\frac{1}{(m-1)!}\lim_{s\to s_0} (s-s_0)^{m} H(s).
No caso m=2 (polo duplo em s=-3), o coeficiente C do termo (s+3)^{-2} é
C=\lim_{s\to -3} (s+3)^{2} G_{7}(s).
Calculemos:
C=\lim_{s\to -3} (s+3)^{2}\cdot \frac{5(s+2)}{s(s+3)^{2}} =\lim_{s\to -3} \frac{5(s+2)}{s} =\frac{5(-3+2)}{-3}=\frac{5(-1)}{-3}=\frac{5}{3}.

Passo 6

Para o coeficiente B correspondente ao termo (s+3)^{-1} num polo de ordem 2, usamos a fórmula da derivada:
B=\lim_{s\to -3}\frac{d}{ds}\left[(s+3)^{2}G_{7}(s)\right].
Já calculamos a função interior:
(s+3)^{2}G_{7}(s)=\frac{5(s+2)}{s}.
Agora derivamos essa expressão em relação a s. Primeiro escrevemos de forma simples:
\frac{5(s+2)}{s}=5\left(1+\frac{2}{s}\right).
Derivando:
\frac{d}{ds}\left(\frac{5(s+2)}{s}\right)=5\cdot\frac{d}{ds}\left(1+\frac{2}{s}\right) =5\cdot\left(0 - \frac{2}{s^{2}}\right)=-\frac{10}{s^{2}}.
Agora avaliamos em s=-3:
B=-\frac{10}{(-3)^{2}}=-\frac{10}{9}.

Passo 7

Reunindo os coeficientes obtidos:
A=\frac{10}{9},\qquad B=-\frac{10}{9},\qquad C=\frac{5}{3}.
Portanto a expansão em frações parciais é
G_{7}(s)=\frac{10}{9}\cdot\frac{1}{s}-\frac{10}{9}\cdot\frac{1}{s+3}+\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{(s+3)^{2}}.

Passo 8

Verificação algébrica rápida (recomposição) para checar coerência: escrever sobre o denominador comum s(s+3)^{2} e somar numeradores.
\text{Num} = A(s+3)^{2}+Bs(s+3)+Cs.
Substituindo A,B,C:
\begin{aligned} A(s+3)^{2}&=\frac{10}{9}(s^{2}+6s+9)=\frac{10}{9}s^{2}+\frac{20}{3}s+10,\\\ Bs(s+3)&=-\frac{10}{9}s(s+3)=-\frac{10}{9}s^{2}-\frac{10}{3}s,\\\ Cs&=\frac{5}{3}s. \end{aligned}
Somando:
\text{Num}=\left(\frac{10}{9}-\frac{10}{9}\right)s^{2}+\left(\frac{20}{3}-\frac{10}{3}+\frac{5}{3}\right)s+10 =5s+10=5(s+2),
que recupera o numerador original. Assim a expansão está correta.

Passo 9

Agora mostramos como obter o mesmo resultado no Matlab usando residue. Código Matlab (cada linha é um comando):
residue_num = [5 10]\nresidue_den = [1 6 9 0]\n[r,p,k] = residue(residue_num,residue_den)\n
Explicação do código:
  • O numerador 5(s+2) corresponde ao polinômio [5\\\ 10] (coeficientes de s e termo constante).
  • O denominador s^{3}+6s^{2}+9s+0 (porque s(s+3)^{2}=s^{3}+6s^{2}+9s) corresponde a [1\\\ 6\\\ 9\\\ 0].
  • A função residue retorna vetores r (resíduos), p (polos) e k (termo direto/polinomial).
Saída esperada (numérica) do Matlab:
r=\begin{bmatrix}\tfrac{10}{9}\\[4pt]-\tfrac{10}{9}\\[4pt]\tfrac{5}{3}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}1{,}1111111\\[2pt]-1{,}1111111\\[2pt]1{,}6666667\end{bmatrix},\qquad p=\begin{bmatrix}0\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{bmatrix},\qquad k=[].
Interpretação: o Matlab fornece três pares (r_i,p_i). Os polos repetidos aparecem duas vezes com o mesmo valor -3; os resíduos correspondentes aos termos (s+3)^{-1} e (s+3)^{-2} são exatamente -\tfrac{10}{9} e \tfrac{5}{3}, na mesma combinação encontrada manualmente.]

Passo 10

Conclusão: a expansão manual obtida por resíduos e a saída do Matlab usando residue são idênticas (os resíduos, polos e ausência de termo direto conferem com os coeficientes manuais).

Resposta

G_{7}(s)=\frac{10}{9}\cdot\frac{1}{s}-\frac{10}{9}\cdot\frac{1}{s+3}+\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{(s+3)^{2}}
\text{Matlab: }r=\left[\tfrac{10}{9},\; -\tfrac{10}{9},\; \tfrac{5}{3}\right],\quad p=[0,\;-3,\;-3],\quad k=[]

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