Faça o gráfico de Arrhenius (log sigma \times 1 / T ) da variação da condutividade elétrica de semicondutores intrínsecos. Qual a expressão (expressão de Arrhenius) da dependência da condutividade elétrica com a temperatura para um semicondutor intrínseco? Dê o significado de cada um dos parâmetros da expressão em questão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) fazer o gráfico de Arrhenius (isto é, representar o comportamento de \log \sigma em função de 1/T) para a variação da condutividade elétrica de um semicondutor intrínseco; (2) apresentar a expressão (a chamada expressão de Arrhenius) que relaciona a condutividade elétrica com a temperatura e explicar o significado de cada parâmetro nessa expressão.
Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado: o semicondutor é intrínseco (isto é, concentrações de elétrons e lacunas geradas termicamente são iguais) e queremos a dependência térmica da condutividade elétrica \sigma. Não há dados numéricos, então vamos derivar a forma geral e mostrar como construir e interpretar o gráfico de Arrhenius.

Passo 2

Começo lembrando a definição física básica da condutividade elétrica num semicondutor:
\sigma = q\left(n\mu_e + p\mu_h\right),
onde:
  • q é a carga elementar ( q=|e|);
  • n é a concentração de elétrons na banda de condução;
  • p é a concentração de lacunas (holes) na banda de valência;
  • \mu_e é a mobilidade dos elétrons;
  • \mu_h é a mobilidade das lacunas.
    Explicação pedagógica: essa fórmula vem da soma das correntes de elétrons e de lacunas; cada portador contribui com carga q, densidade n (ou p) e drifteia com velocidade proporcional à mobilidade \mu sob um campo elétrico, resultando em condutividade proporcional a n\mu.

Passo 3

Para um semicondutor intrínseco temos n=p=n_i, onde n_i é a concentração intrínseca de portadores (pares elétron–lacuna). Substituindo em \sigma obtemos:
\sigma = q\,n_i\left(\mu_e+\mu_h\right).
Explicação: como cada par cria um elétron e uma lacuna, a densidade de elétrons é igual à de lacunas; a condutividade soma as contribuições.

Passo 4

Agora precisamos da expressão de n_i. Em regime não degenerado (aproximação de Boltzmann) a concentração intrínseca é dada por
n_i = \sqrt{N_c N_v}\,\exp\!\left(-\dfrac{E_g}{2k_B T}\right),
onde:
  • E_g é a energia de gap do semicondutor (diferença entre as bordas de banda de condução e valência);
  • k_B é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura absoluta.
    O termo \sqrt{N_c N_v} vem das densidades efetivas de estados nas bandas de condução e valência:
N_c = 2\left(\dfrac{2\pi m_e^* k_B T}{h^2}\right)^{3/2},\qquad N_v = 2\left(\dfrac{2\pi m_h^* k_B T}{h^2}\right)^{3/2},
onde m_e^* e m_h^* são massas efetivas do elétron e da lacuna e h é a constante de Planck. Observação didática: N_c e N_v aumentam com T^{3/2}, então n_i tem um fator pré-exponencial que depende fracamente de T multiplicando a exponencial. A parte dominante da dependência térmica é a exponencial \exp(-E_g/(2k_BT)).

Passo 5

Substituindo n_i em \sigma obtemos a expressão explícita:
\sigma(T) = q\left(\mu_e+\mu_h\right)\sqrt{N_c N_v}\;\exp\!\left(-\dfrac{E_g}{2k_B T}\right).
Para fins de análise tipo Arrhenius costuma-se escrever na forma compacta
\sigma(T) = \sigma_0(T)\,\exp\!\left(-\dfrac{E_g}{2k_B T}\right),
onde \sigma_0(T)=q(\mu_e+\mu_h)\sqrt{N_c N_v} é o fator pré-exponencial. Em muitas análises experimentais, em intervalos de temperatura não muito largos, \sigma_0(T) varia pouco com T (poder-ser aproximada por constante \sigma_0), de modo que a dependência exponencial domina.

Passo 6

Agora passamos à forma de Arrhenius para plotar: tomamos o logaritmo natural de \sigma(T):
\ln \sigma = \ln \sigma_0 - \dfrac{E_g}{2k_B}\cdot\dfrac{1}{T}.
Isto mostra que um gráfico de \ln\sigma versus 1/T é uma reta com inclinação
\text{slope} = -\dfrac{E_g}{2k_B}
e intercepto \ln\sigma_0. Se você preferir usar logaritmo decimal ( \log_{10}), a relação vira
\log_{10}\sigma = \log_{10}\sigma_0 - \dfrac{E_g}{2k_B\ln 10}\cdot\dfrac{1}{T},
portanto o fator de conversão entre as inclinações é \ln 10. Didaticamente: medir a inclinação do gráfico dá diretamente E_g (multiplicando por -2k_B se usou \ln, ou por -2k_B\ln 10 se usou \log_{10}).

Passo 7

Descrição prática de como construir o gráfico de Arrhenius (passo a passo na prova ou laboratório):
  1. Meça \sigma em várias temperaturas T (sempre em Kelvin).
  2. Calcule 1/T e \ln\sigma (ou \log_{10}\sigma).
  3. Plote \ln\sigma no eixo vertical e 1/T no eixo horizontal.
  4. Ajuste uma reta à parte linear dos dados (região intrínseca do semicondutor).
  5. A inclinação da reta \,m\, E_g pela fórmula \,E_g = -2k_B m\, (se m for obtido no gráfico de \ln\sigma vs 1/T).
    Observação empática: na prova, se pedirem apenas deduzir a expressão ou extrair E_g a partir do gráfico, lembre-se desta relação direta entre inclinação e gap — é um truque prático e muito aplicado.

Passo 8

Comentário sobre parâmetros e limitações:
  • E_g é o parâmetro físico principal que controla a dependência exponencial; em semicondutores intrínsecos a ativação efetiva para gerar pares é E_g/2 por portador (daí o fator 1/2).
  • \sigma_0 reúne fatores como densidades de estados efetivas e mobilidades; como \mu costuma depender de T (ex.: \mu\propto T^{-m} por espalhamento), \sigma_0 pode ter dependência em potência de T. Em análise prática essa dependência é frequentemente fraca comparada à exponencial, e por isso se despreza para extrair E_g.
  • Cuidado: se no gráfico a dependência não for uma reta clara, pode ser que você esteja fora do regime intrínseco (por exemplo, conduzido por impurezas — regime extrínseco — ou mobilidades com forte variação), e então a interpretação direta da inclinação como E_g/(2k_B) não é válida.

Resposta

\sigma(T)=\sigma_0\,\exp\!\left(-\dfrac{E_g}{2k_B T}\right).\n \sigma_0 = q(\mu_e+\mu_h)\sqrt{N_c N_v}, onde q é a carga elementar, \mu_e,\mu_h são as mobilidades dos elétrons e lacunas, N_c=2\left(\dfrac{2\pi m_e^* k_B T}{h^2}\right)^{3/2} e N_v=2\left(\dfrac{2\pi m_h^* k_B T}{h^2}\right)^{3/2} são as densidades efetivas de estados (com m_e^*,m_h^* massas efetivas e h a constante de Planck), E_g é a energia de gap, k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. Para o gráfico de Arrhenius: \ln\sigma = \ln\sigma_0 -\dfrac{E_g}{2k_B}\cdot\dfrac{1}{T} (reta com inclinação -E_g/(2k_B)).

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