Faça o gráfico de Arrhenius (log sigma
) da variação da condutividade elétrica de semicondutores intrínsecos. Qual a expressão (expressão de Arrhenius) da dependência da condutividade elétrica com a temperatura para um semicondutor intrínseco? Dê o significado de cada um dos parâmetros da expressão em questão.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) fazer o gráfico de Arrhenius (isto é, representar o comportamento de
em função de
) para a variação da condutividade elétrica de um semicondutor intrínseco; (2) apresentar a expressão (a chamada expressão de Arrhenius) que relaciona a condutividade elétrica com a temperatura e explicar o significado de cada parâmetro nessa expressão.
Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado: o semicondutor é intrínseco (isto é, concentrações de elétrons e lacunas geradas termicamente são iguais) e queremos a dependência térmica da condutividade elétrica . Não há dados numéricos, então vamos derivar a forma geral e mostrar como construir e interpretar o gráfico de Arrhenius.
Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado: o semicondutor é intrínseco (isto é, concentrações de elétrons e lacunas geradas termicamente são iguais) e queremos a dependência térmica da condutividade elétrica
Passo 2
Começo lembrando a definição física básica da condutividade elétrica num semicondutor:
onde:
-
é a carga elementar ( ); -
é a concentração de elétrons na banda de condução; -
é a concentração de lacunas (holes) na banda de valência; -
é a mobilidade dos elétrons; -
é a mobilidade das lacunas.
Explicação pedagógica: essa fórmula vem da soma das correntes de elétrons e de lacunas; cada portador contribui com carga, densidade (ou ) e drifteia com velocidade proporcional à mobilidade sob um campo elétrico, resultando em condutividade proporcional a .
Passo 3
Para um semicondutor intrínseco temos
, onde
é a concentração intrínseca de portadores (pares elétron–lacuna). Substituindo em
obtemos:
Explicação: como cada par cria um elétron e uma lacuna, a densidade de elétrons é igual à de lacunas; a condutividade soma as contribuições.
Passo 4
Agora precisamos da expressão de
. Em regime não degenerado (aproximação de Boltzmann) a concentração intrínseca é dada por
onde:
-
é a energia de gap do semicondutor (diferença entre as bordas de banda de condução e valência); -
é a constante de Boltzmann; -
é a temperatura absoluta.
O termovem das densidades efetivas de estados nas bandas de condução e valência:
onde
e
são massas efetivas do elétron e da lacuna e
é a constante de Planck. Observação didática:
e
aumentam com
, então
tem um fator pré-exponencial que depende fracamente de
multiplicando a exponencial. A parte dominante da dependência térmica é a exponencial
.
Passo 5
Substituindo
em
obtemos a expressão explícita:
Para fins de análise tipo Arrhenius costuma-se escrever na forma compacta
onde
é o fator pré-exponencial. Em muitas análises experimentais, em intervalos de temperatura não muito largos,
varia pouco com
(poder-ser aproximada por constante
), de modo que a dependência exponencial domina.
Passo 6
Agora passamos à forma de Arrhenius para plotar: tomamos o logaritmo natural de
:
Isto mostra que um gráfico de
versus
é uma reta com inclinação
e intercepto
. Se você preferir usar logaritmo decimal (
), a relação vira
portanto o fator de conversão entre as inclinações é
. Didaticamente: medir a inclinação do gráfico dá diretamente
(multiplicando por
se usou
, ou por
se usou
).
Passo 7
Descrição prática de como construir o gráfico de Arrhenius (passo a passo na prova ou laboratório):
- Meça
em várias temperaturas (sempre em Kelvin). - Calcule
e (ou ). - Plote
no eixo vertical e no eixo horizontal. - Ajuste uma reta à parte linear dos dados (região intrínseca do semicondutor).
- A inclinação da reta
dá pela fórmula (se for obtido no gráfico de vs ).
Observação empática: na prova, se pedirem apenas deduzir a expressão ou extraira partir do gráfico, lembre-se desta relação direta entre inclinação e gap — é um truque prático e muito aplicado.
Passo 8
Comentário sobre parâmetros e limitações:
-
é o parâmetro físico principal que controla a dependência exponencial; em semicondutores intrínsecos a ativação efetiva para gerar pares é por portador (daí o fator ). -
reúne fatores como densidades de estados efetivas e mobilidades; como costuma depender de (ex.: por espalhamento), pode ter dependência em potência de . Em análise prática essa dependência é frequentemente fraca comparada à exponencial, e por isso se despreza para extrair . - Cuidado: se no gráfico a dependência não for uma reta clara, pode ser que você esteja fora do regime intrínseco (por exemplo, conduzido por impurezas — regime extrínseco — ou mobilidades com forte variação), e então a interpretação direta da inclinação como
não é válida.