Utilizando o Método de Ponderação Regional para o preenchimento de falhas de dados pluviométricos, estime a precipitação para o ano de 1963 no posto E5-46, pertencente à rede de posto do DAEE, localizado no município de Buri, SP. Para preenchimento da falha, dispõe-se dos totais mensais (mês de janeiro) nos postos E5-51, E5-52 e E5-47, vizinhos ao posto em questão, no período de 1958 a 1968. (R: Média com dados 1963 - 205,7mm; Média sem dados 1963 - 218,1 mm)
ano E5-46 E5-47 E5-52 E5-51
1958 117,4 157,3 249,6 224,8
1959 125,3 241,6 374,6 265,1
1960 131,8 250,9 267,6 261,2
1961 159,4 55,6 121,8 57
1962 52,4 158,9 85,4 99,4
1963 344 276,6 231,4
1964 64,2 39,3 81,8 21,3
1965 174 253,3 285,4 290,6
1966 137,8 64,7 150,2 201,2
1967 168,3 126,1 170,3 123,2
1968 255,5 249,5 339,3 285,1

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dado.
  • Pedido: estimar a precipitação em janeiro de 1963 no posto \text{E5-46} usando o Método de Ponderação Regional (usando os postos vizinhos \text{E5-47}, \text{E5-52} e \text{E5-51}).
  • Dados fornecidos: totais mensais (janeiro) de 1958 a 1968 para os postos \text{E5-46}, \text{E5-47}, \text{E5-52} e \text{E5-51}. Na tabela observamos que o valor de janeiro de 1963 do posto \text{E5-51} está faltando (célula vazia). Os valores de 1963 para \text{E5-47} e \text{E5-52} estão disponíveis e valem \,276{,}6 e \,231{,}4 (esses números eu peguei diretamente da tabela).
  • Observação importante: como o \text{E5-51} não tem valor em 1963, só podemos usar diretamente \text{E5-47} e \text{E5-52} para formar a estimativa em 1963 (a menos que se faça uma estimação adicional para \text{E5-51}, o que não foi pedido).

Passo 2

Apresentação didática do Método de Ponderação Regional (método proporcional usado aqui) e fórmula.
  • Intuição: o método usa a relação média entre o posto que falta dados ( \text{E5-46}) e os postos vizinhos ao longo do período disponível, e aplica essa relação ao total observado nos vizinhos no ano com falta (1963). Uma forma simples, robusta e frequentemente usada é a versão proporcional (às vezes chamada de método de ponderação regional):
\hat{x}_{i,t} \;=\; \overline{x}_i \cdot \frac{\sum_{j\in V} y_{j,t}}{\sum_{j\in V} \overline{y}_j}
onde:
  • \hat{x}_{i,t} é a estimativa da precipitação no posto alvo i no ano (ou mês) t (aqui i=\text{E5-46} e t=1963);
  • \overline{x}_i é a média histórica (no período disponível) da precipitação no posto alvo i;
  • V é o conjunto de postos vizinhos usados na estimativa (aqui vamos usar \{\text{E5-47},\text{E5-52}\}, porque \text{E5-51} está faltando em 1963);
  • y_{j,t} é a precipitação observada no posto vizinho j no ano t (aqui são os valores de 1963 em \text{E5-47} e \text{E5-52});
  • \overline{y}_j é a média histórica do posto vizinho j no período usado.
  • Por que essa fórmula faz sentido? Ela multiplica a média do posto alvo por um fator que representa se o ano t foi mais úmido ou mais seco na região (proporção entre o total regional observado no ano t e a média regional usual). Assim respeita a característica climática média do posto alvo e ajusta pelo ano específico.

Passo 3

Calcular as médias históricas necessárias (médias no período 1958–1968). Vou calcular duas versões das médias para comparação e para justificar qual usar:
  • Versão A: médias calculadas usando todos os anos disponíveis (para esta versão as médias dos postos com dados completos usam os 11 anos 1958–1968; \text{E5-51} tem apenas 10 anos válidos porque falta 1963).
  • Versão B: médias calculadas excluindo o ano que queremos estimar (excluir 1963 das médias) — isso evita “vazar” informação do ano faltante na média do posto alvo.
Primeiro vou somar os valores e obter as médias (vou mostrar as somas e as divisões).
Dados da tabela (valores em mm, peguei direto da tabela):
  • \text{E5-46}: 117{,}4,\;125{,}3,\;131{,}8,\;159{,}4,\;52{,}4,\;344{,}0,\;64{,}2,\;174{,}0,\;137{,}8,\;168{,}3,\;255{,}5.
  • \text{E5-47}: 157{,}3,\;241{,}6,\;250{,}9,\;55{,}6,\;158{,}9,\;276{,}6,\;39{,}3,\;253{,}3,\;64{,}7,\;126{,}1,\;249{,}5.
  • \text{E5-52}: 249{,}6,\;374{,}6,\;267{,}6,\;121{,}8,\;85{,}4,\;231{,}4,\;81{,}8,\;285{,}4,\;150{,}2,\;170{,}3,\;339{,}3.
  • \text{E5-51}: 224{,}8,\;265{,}1,\;261{,}2,\;57{,}0,\;99{,}4,\;(\text{faltante em 1963}),\;21{,}3,\;290{,}6,\;201{,}2,\;123{,}2,\;285{,}1.
Cálculos (versão A — médias com todos os anos disponíveis):
  • Soma \text{E5-46}: 1730{,}1. Média em 11 anos:
\overline{x}_{\text{E5-46}} = \frac{1730{,}1}{11} = 157{,}281818\ldots \approx 157{,}3
  • Soma \text{E5-47}: 1873{,}8. Média em 11 anos:
\overline{y}_{\text{E5-47}} = \frac{1873{,}8}{11} = 170{,}345454\ldots \approx 170{,}3
  • Soma \text{E5-52}: 2357{,}4. Média em 11 anos:
\overline{y}_{\text{E5-52}} = \frac{2357{,}4}{11} = 214{,}30909\ldots \approx 214{,}3
  • Soma \text{E5-51} (apenas 10 anos válidos): 1828{,}9. Média em 10 anos:
\overline{y}_{\text{E5-51}} = \frac{1828{,}9}{10} = 182{,}89 \approx 182{,}9
Cálculos (versão B — médias excluindo 1963, ou seja, médias em 10 anos para todos):
  • Soma \text{E5-46} sem 1963: 1386{,}1. Média em 10 anos:
\overline{x}_{\text{E5-46, excl}} = \frac{1386{,}1}{10} = 138{,}61 \approx 138{,}6
  • Soma \text{E5-47} sem 1963: 1873{,}8 - 276{,}6 = 1597{,}2. Média em 10 anos:
\overline{y}_{\text{E5-47, excl}} = \frac{1597{,}2}{10} = 159{,}72 \approx 159{,}7
  • Soma \text{E5-52} sem 1963: 2357{,}4 - 231{,}4 = 2126{,}0. Média em 10 anos:
\overline{y}_{\text{E5-52, excl}} = \frac{2126{,}0}{10} = 212{,}6
Observação: como \text{E5-51} tem falta em 1963, se quisermos usar \text{E5-51} precisaríamos estimar seu valor em 1963 primeiro — para simplificar e ser fiel aos dados, aqui usaremos apenas \text{E5-47} e \text{E5-52} para formar a estimativa em 1963.

Passo 4

Aplicar a fórmula com as médias da Versão A (médias usando todos os anos disponíveis quando possível). Este é um procedimento comum e direto.
  • Primeiro calcule a soma das observações dos vizinhos em 1963 (os valores eu peguei da tabela):
\sum_{j\in\{\text{E5-47},\text{E5-52}\}} y_{j,1963} = 276{,}6 + 231{,}4 = 508{,}0
  • Soma das médias dos vizinhos (versão A):
\sum_{j\in\{\text{E5-47},\text{E5-52}\}} \overline{y}_j = 170{,}345454\ldots + 214{,}30909\ldots = 384{,}654545\ldots
  • Aplicando a fórmula
\hat{x}_{\text{E5-46},1963} \;=\; \overline{x}_{\text{E5-46}} \cdot \frac{\sum_{j} y_{j,1963}}{\sum_{j} \overline{y}_j}
Substituindo os números (usando \overline{x}_{\text{E5-46}} \approx 157{,}281818):
\hat{x}_{\text{E5-46},1963} \;=\; 157{,}281818\cdot\frac{508{,}0}{384{,}654545} = 157{,}281818\cdot 1{,}320811\ldots = 207{,}78\ldots
Arredondando com uma casa decimal temos:
\hat{x}_{\text{E5-46},1963} \approx 207{,}8\\ \text{mm}

Passo 5

Aplicar a fórmula com as médias da Versão B (médias calculadas excluindo 1963). Esse procedimento evita que a média do posto alvo seja influenciada pelo ano que estamos estimando (prática mais conservadora).
  • Soma das médias dos vizinhos (versão B):
\sum_{j\in\{\text{E5-47},\text{E5-52}\}} \overline{y}_{j,\text{excl}} = 159{,}72 + 212{,}6 = 372{,}32
  • Soma das observações de 1963 nos vizinhos é a mesma: 508{,}0.
  • Aplicando a fórmula com \overline{x}_{\text{E5-46, excl}} = 138{,}61:
\hat{x}_{\text{E5-46},1963} \;=\; 138{,}61\cdot\frac{508{,}0}{372{,}32} = 138{,}61\cdot 1{,}364224\ldots = 189{,}11\ldots
Arredondando com uma casa decimal:
\hat{x}_{\text{E5-46},1963} \approx 189{,}1\\ \text{mm}

Passo 6

Interpretação final e recomendação prática (se estiver na prova).
  • As duas estimativas diferem porque mudamos a forma de calcular as médias históricas:
    • Usando médias calculadas com todos os anos disponíveis (versão A) a estimativa é \,207{,}8\\ \text{mm}.
    • Usando médias que excluem 1963 (versão B, mais conservadora para evitar viés) a estimativa é \,189{,}1\\ \text{mm}.
  • Em provas ou aplicações práticas, é importante justificar qual versão das médias você usou. Muitos autores recomendam usar médias que excluem o ano faltante (versão B) para evitar que um valor anômalo em um ano distorça a relação média entre postos; outros usam todas as observações disponíveis (versão A) por simplicidade. Eu deixo a escolha para você, mas mostre claramente no enunciado qual procedimento adotou na resposta.

Resposta

Estimativa (médias com todos os anos disponíveis): 207{,}8\\ \text{mm}
Estimativa (médias excluindo 1963 — opção conservadora): 189{,}1\\ \text{mm}

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