Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
g(x)=\sqrt{\frac{1}{2} x+2}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
g(x)=\sqrt{\tfrac{1}{2}x+2},
começando de uma função elementar e aplicando transformações (translações, alongamentos/compressões, reflexões, modulações). Também pede que eu explique quais são essas transformações e determine o domínio e a imagem da função. As informações dadas no enunciado são apenas a expressão acima.

Passo 2

Identificar uma função elementar de partida. A função mais simples que serve de base aqui é a raiz quadrada básica
f(x)=\sqrt{x},
cujo gráfico é o ramo da raiz que começa em (0,0), cresce lentamente e é côncavo para baixo.
Agora reescrevo g de uma forma que permita ver as transformações aplicadas a f. Começo por fatorar a expressão dentro da raiz:
\tfrac{1}{2}x+2=\tfrac{1}{2}(x+4).
Portanto
g(x)=\sqrt{\tfrac{1}{2}(x+4)}.

Passo 3

Interpretando como composição do tipo f(a(x-h)). Escrevendo
g(x)=f\big(a(x-h)\big)\quad\text{com}\quad f(x)=\sqrt{x},
temos a=\tfrac{1}{2} e h=-4, porque \tfrac{1}{2}(x+4)=\tfrac{1}{2}\big(x-(-4)\big).
Regra prática (importante para provas): para f(a(x-h))
  • o fator a provoca uma transformação horizontal com fator 1/a (ou seja, um esticamento horizontal por 1/a se 0<a<1, ou uma compressão horizontal se a>1);
  • o h provoca uma translação horizontal para a direita de h (se h for negativo, é então para a esquerda).
Aqui a=\tfrac{1}{2} (entre 0 e 1), logo a transformação é:
  • esticamento horizontal por fator 1/a=2 (ou seja, cada abscissa é multiplicada por 2 em relação ao gráfico de f);
  • depois deslocamento horizontal por h=-4, ou seja, deslocamento para a esquerda de 4.
Resumo por etapas (forma prática de aplicar no rascunho):
  • Parto do gráfico de f(x)=\sqrt{x}.
  • Aplico esticamento horizontal por 2: ponto (x,y) de f vai para (2x,y).
  • Em seguida aplico translação horizontal para a esquerda de 4: (2x,y) vai para (2x-4,y).
    O resultado é o gráfico de g.

Passo 4

Mostro com pontos concretos — isso ajuda a desenhar sem calculadora complicada. Tomo pontos simples do f:
(0,0),\\ (1,1),\\ (4,2).
Aplico o esticamento horizontal por 2 e depois a translação esquerda de 4:
  • (0,0) → esticar → (0,0) → deslocar → (-4,0).
  • (1,1) → esticar → (2,1) → deslocar → (-2,1).
  • (4,2) → esticar → (8,2) → deslocar → (4,2).
Verifico rapidamente esses pontos na fórmula original para checar:
g(-4)=\sqrt{\tfrac{1}{2}(-4)+2}=\sqrt{0}=0,
g(-2)=\sqrt{\tfrac{1}{2}(-2)+2}=\sqrt{1}=1,
g(4)=\sqrt{\tfrac{1}{2}\cdot 4+2}=\sqrt{4}=2.
Portanto os pontos (-4,0),(-2,1),(4,2) realmente pertencem ao gráfico de g. Esses três pontos são suficientes para posicionar bem a curva ao esboçar.

Passo 5

Mostro uma outra decomposição que às vezes é mais intuitiva: a forma multiplicativa
g(x)=\sqrt{\tfrac{1}{2}}\;\sqrt{x+4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x+4}.
Essa escrita evidencia outra sequência equivalente de transformações:
  • deslocamento horizontal para a esquerda de 4 (substituir x por x+4),
  • seguida de uma compressão vertical por fator \tfrac{1}{\sqrt{2}} (multiplicar as ordenadas por \tfrac{1}{\sqrt{2}}).
Ambas as descrições (a via do esticamento horizontal + deslocamento, ou a via deslocamento + compressão vertical) representam a mesma curva final — são apenas formas distintas de encarar as transformações.

Passo 6

Comportamento e forma do gráfico (para desenhar):
  • o gráfico começa no ponto de extremidade (-4,0) (chamado às vezes de “vértice” do ramo);
  • para x>-4 a função cresce (é estritamente crescente): valores maiores de x dão raízes maiores;
  • a curva tem uma tangente vertical “infinita” em (-4,0) no sentido que a derivada tende a +\infty quando x\to-4^+ (explico abaixo);
  • a curva é côncava para baixo em todo o seu domínio (forma de raiz quadrada padrão).
Cálculo da derivada para ver a monotonicidade e concavidade:
escrevo u(x)=\tfrac{1}{2}x+2, então g(x)=\sqrt{u(x)}. Como u'(x)=\tfrac{1}{2},
g'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{1}{4\sqrt{\tfrac{1}{2}x+2}}.
  • Como o denominador é positivo quando definido, g'(x)>0 para todo x no domínio, confirmando que g é crescente.
  • Note que em x=-4 o denominador é zero, então g'(-4) não existe e a inclinação vertical aparece no início da curva.
Segunda derivada para concavidade:
g''(x)=-\frac{1}{16}\big(\tfrac{1}{2}x+2\big)^{-3/2}<0\quad\text{para }x>-4,
portanto a curva é côncava para baixo no domínio.

Passo 7

Escolha de pontos adicionais úteis para o esboço (valores numéricos):
g(-4)=0,\quad g(-3)=\sqrt{0{,}5}\approx0{,}7071,\quad g(-2)=1,\quad g(0)=\sqrt{2}\approx1{,}4142,\quad g(4)=2.
Para esboçar: plotar os pontos listados, traçar a curva que sai verticalmente de (-4,0), sobe passando por (-3,0{,}7071), (-2,1), (0,1{,}4142), (4,2), ficando cada vez mais suave (derivada diminuindo).

Passo 8

Determinar o domínio e a imagem (essa é a resposta quantitativa pedida).
Condição para a raiz estar definida: o argumento deve ser não negativo:
\tfrac{1}{2}x+2\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{2}x\ge-2 \quad\Longrightarrow\quad x\ge-4.
Logo o domínio é [ -4,\infty ).
Para a imagem (contraparte): como a raiz quadrada retorna sempre valores não negativos e com x=-4 se obtém 0 enquanto para x\to\infty a raiz cresce sem limite, a imagem é [0,\infty).

Resposta

Transformações (resumo): esticamento horizontal por fator 2 e translação horizontal para a esquerda de 4 (equivalente a translação à esquerda de 4 seguida de compressão vertical por \tfrac{1}{\sqrt{2}}).
Domínio: [ -4,\infty )
Imagem: [0,\infty)

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