Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
começando de uma função elementar e aplicando transformações (translações, alongamentos/compressões, reflexões, modulações). Também pede que eu explique quais são essas transformações e determine o domínio e a imagem da função. As informações dadas no enunciado são apenas a expressão acima.
Passo 2
Identificar uma função elementar de partida. A função mais simples que serve de base aqui é a raiz quadrada básica
cujo gráfico é o ramo da raiz que começa em
, cresce lentamente e é côncavo para baixo.
Agora reescrevo
de uma forma que permita ver as transformações aplicadas a
. Começo por fatorar a expressão dentro da raiz:
Portanto
Passo 3
Interpretando como composição do tipo
. Escrevendo
temos
e
, porque
.
Regra prática (importante para provas): para
- o fator
provoca uma transformação horizontal com fator (ou seja, um esticamento horizontal por se , ou uma compressão horizontal se ); - o
provoca uma translação horizontal para a direita de (se for negativo, é então para a esquerda).
Aqui
(entre 0 e 1), logo a transformação é:
- esticamento horizontal por fator
(ou seja, cada abscissa é multiplicada por em relação ao gráfico de ); - depois deslocamento horizontal por
, ou seja, deslocamento para a esquerda de .
Resumo por etapas (forma prática de aplicar no rascunho):
- Parto do gráfico de
. - Aplico esticamento horizontal por
: ponto de vai para . - Em seguida aplico translação horizontal para a esquerda de
: vai para .
O resultado é o gráfico de.
Passo 4
Mostro com pontos concretos — isso ajuda a desenhar sem calculadora complicada. Tomo pontos simples do
:
Aplico o esticamento horizontal por
e depois a translação esquerda de
:
-
→ esticar → → deslocar → . -
→ esticar → → deslocar → . -
→ esticar → → deslocar → .
Verifico rapidamente esses pontos na fórmula original para checar:
Portanto os pontos
realmente pertencem ao gráfico de
. Esses três pontos são suficientes para posicionar bem a curva ao esboçar.
Passo 5
Mostro uma outra decomposição que às vezes é mais intuitiva: a forma multiplicativa
Essa escrita evidencia outra sequência equivalente de transformações:
- deslocamento horizontal para a esquerda de
(substituir por ), - seguida de uma compressão vertical por fator
(multiplicar as ordenadas por ).
Ambas as descrições (a via do esticamento horizontal + deslocamento, ou a via deslocamento + compressão vertical) representam a mesma curva final — são apenas formas distintas de encarar as transformações.
Passo 6
Comportamento e forma do gráfico (para desenhar):
- o gráfico começa no ponto de extremidade
(chamado às vezes de “vértice” do ramo); - para
a função cresce (é estritamente crescente): valores maiores de dão raízes maiores; - a curva tem uma tangente vertical “infinita” em
no sentido que a derivada tende a quando (explico abaixo); - a curva é côncava para baixo em todo o seu domínio (forma de raiz quadrada padrão).
Cálculo da derivada para ver a monotonicidade e concavidade:
escrevo , então
. Como
,
escrevo
- Como o denominador é positivo quando definido,
para todo no domínio, confirmando que é crescente. - Note que em
o denominador é zero, então não existe e a inclinação vertical aparece no início da curva.
Segunda derivada para concavidade:
portanto a curva é côncava para baixo no domínio.
Passo 7
Escolha de pontos adicionais úteis para o esboço (valores numéricos):
Para esboçar: plotar os pontos listados, traçar a curva que sai verticalmente de
, sobe passando por
,
,
,
, ficando cada vez mais suave (derivada diminuindo).
Passo 8
Determinar o domínio e a imagem (essa é a resposta quantitativa pedida).
Condição para a raiz estar definida: o argumento deve ser não negativo:
Condição para a raiz estar definida: o argumento deve ser não negativo:
Logo o domínio é
.
Para a imagem (contraparte): como a raiz quadrada retorna sempre valores não negativos e com
se obtém
enquanto para
a raiz cresce sem limite, a imagem é
.
Resposta
Transformações (resumo): esticamento horizontal por fator
e translação horizontal para a esquerda de
(equivalente a translação à esquerda de
seguida de compressão vertical por
).
Domínio:
Imagem:
Domínio:
Imagem: