Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x+2}

Passo 1

O enunciado nos deu a função
f(x)=\tfrac{1}{2}\sqrt{x+2}.
O que é pedido:
  • Fazer o gráfico da função começando de uma função elementar e aplicando as transformações (translações horizontais e verticais, alongamentos/compressões, reflexões, modulações) explicando cada transformação.
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão interna da raiz é x+2, logo há uma transformação horizontal da raiz.
  • Há um fator multiplicativo externo \tfrac{1}{2}, logo há uma transformação vertical.
  • Não há sinais negativos multiplicando a raiz inteira (logo não há reflexão vertical) e não há multiplicação do argumento por constante (logo não há compressão/alongamento horizontal além da translação).

Passo 2

Escolher a função elementar de partida. A função elementar natural aqui é
g(x)=\sqrt{x}.
Lembrete sobre g(x)=\sqrt{x}:
  • Domínio de g: [0,\infty) porque só podemos tirar raiz quadrada de números não negativos.
  • Imagem de g: [0,\infty) porque a raiz quadrada produz valores não negativos.
  • Forma do gráfico: começa em (0,0), cresce para a direita de forma decrescente na inclinação (a curva sobe, mas cada vez mais devagar). Pontos úteis: g(0)=0, g(1)=1, g(4)=2, g(9)=3.
Explicação didática rápida: a função \sqrt{x} é definida só quando x\ge0; seu gráfico é uma “meia-parábola” aberta para a direita (mais precisamente, uma raiz que começa no eixo x e sobe suavemente).

Passo 3

Primeira transformação: horizontal por substituição x \mapsto x+2. Considere
h(x)=\sqrt{x+2}.
O que significa substituir x por x+2:
  • Regra prática: substituir x por x-c desloca a curva para a direita em c; substituir por x+c desloca a curva para a esquerda em c. Aqui temos x+2, portanto é um deslocamento horizontal para a esquerda de 2 unidades.
  • Consequência no domínio: para que a raiz seja definida precisamos de x+2\ge0. Assim
x\ge-2,
logo o domínio de h é [-2,\infty).
Como os pontos da função g se movem em h:
  • O ponto (0,0) de g vira (-2,0) em h.
  • O ponto (1,1) de g vira (-1,1) em h.
  • O ponto (4,2) de g vira (2,2) em h.
Resumo intuitivo: deslocamento para a esquerda de 2 unidades; a “início” da curva passa de x=0 para x=-2.

Passo 4

Segunda transformação: multiplicação externa por \tfrac{1}{2}. Considere agora
f(x)=\tfrac{1}{2}h(x)=\tfrac{1}{2}\sqrt{x+2}.
O que significa multiplicar a saída por \tfrac{1}{2}:
  • É uma compressão vertical (ou “encolhimento” vertical) pelo fator \tfrac{1}{2}. Cada valor y de h(x) passa a ser \tfrac{1}{2}y em f(x).
  • Como o fator é positivo e não há sinal negativo, NÃO há reflexão vertical; a monotonicidade (função crescente) é preservada.
Como os pontos de h se transformam em f:
  • (-2,0) permanece (-2,0) porque \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 0.
  • (-1,1) vira (-1,\tfrac{1}{2}).
  • (2,2) vira (2,1).
  • (7,3) (se h(7)=\sqrt{9}=3) vira (7,\tfrac{3}{2}).
Efeito na forma: a curva tem mesma forma horizontal (mesma tendência), começa em (-2,0) e cresce para a direita, mas seus valores em y são metade dos de \sqrt{x+2}, ou seja, a subida é mais “suave” verticalmente.

Passo 5

Resumo das transformações (ordem e motivo):
  • Começa em g(x)=\sqrt{x}.
  • Aplicar x\mapsto x+2 (dentro da raiz) desloca o gráfico 2 unidades para a esquerda → h(x)=\sqrt{x+2}.
  • Aplicar multiplicação externa por \tfrac{1}{2} comprime verticalmente por fator \tfrac{1}{2} f(x)=\tfrac{1}{2}\sqrt{x+2}.
Observações sobre comportamento e derivada (ajuda para esboçar o gráfico com precisão):
  • Para x\to\infty, \sqrt{x+2}\sim\sqrt{x} cresce sem limite, porém lentamente; multiplicando por \tfrac{1}{2} continua a crescer sem limite. Assim a imagem será não limitada superiormente.
  • A derivada para x>-2 pode ser calculada para ver a inclinação local:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}(x+2)^{-1/2}=\tfrac{1}{4\sqrt{x+2}}.
Isto mostra que f'(x)\to\infty quando x\to -2^+, ou seja, perto do ponto inicial x=-2 a curva sobe muito íngreme (tendência de tangente vertical). Para x grandes, f'(x) tende a 0, ou seja, a curva vai ficando cada vez mais “horizontal”.
Para esboçar: marque alguns pontos calculados acima ( (-2,0), (-1,\tfrac{1}{2}), (2,1), (7,\tfrac{3}{2})) e trace uma curva suave passando por eles, crescente, com inclinação muito grande perto de -2 e decrescendo à medida que x cresce.

Passo 6

Determinar domínio e imagem (explicação passo a passo):
Domínio:
  • A expressão dentro da raiz é x+2.
  • Condição para raiz quadrada real: x+2\ge 0.
  • Logo
\text{Domínio}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge-2\}=[-2,\infty).í
Imagem (intervalo de valores de f):
  • Para x\ge-2, temos \sqrt{x+2}\ge0.
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2} (fator positivo) não muda o sinal nem a convenção de “começar em zero”; apenas escala verticalmente.
  • Assim os valores de f variam de 0 até +\infty.
  • Logo
\text{Imagem}(f)=[0,\infty).

Passo 7

Pontos-chave para plotar (resumo para a prova, sem calculadora pesada):
  • Ponto inicial (vértice da curva): (-2,0).
  • Valores fáceis: (-1,\tfrac{1}{2}) porque \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1 e \tfrac{1}{2}\cdot1=\tfrac{1}{2}.
  • Outro ponto: (2,1) porque \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 e \tfrac{1}{2}\cdot2=1.
  • Mais um: (7,\tfrac{3}{2}) porque \sqrt{7+2}=\sqrt{9}=3 e \tfrac{1}{2}\cdot3=\tfrac{3}{2}.
  • Trace a curva começando em (-2,0), subindo rapidamente imediatamente à direita de -2, depois subindo cada vez mais devagar, passando por esses pontos.
Dicas práticas para a prova:
  • Sempre identifique primeiro a função base (aqui \sqrt{x}).
  • Olhe para transformações “dentro” (argumento) para deslocamentos horizontais (atenção ao sinal invertido: x-c → direita, x+c → esquerda).
  • Olhe para transformações “fora” (multiplicando a função) para escalas/reflexões verticais.
  • Marque 3–4 pontos fáceis e conecte com a forma conhecida da função base; isso dá um gráfico suficiente rápido.

Resposta

Domínio: [-2,\infty)
Imagem: [0,\infty)

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