Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado nos deu a função
O que é pedido:
- Fazer o gráfico da função começando de uma função elementar e aplicando as transformações (translações horizontais e verticais, alongamentos/compressões, reflexões, modulações) explicando cada transformação.
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão interna da raiz é
, logo há uma transformação horizontal da raiz. - Há um fator multiplicativo externo
, logo há uma transformação vertical. - Não há sinais negativos multiplicando a raiz inteira (logo não há reflexão vertical) e não há multiplicação do argumento por constante (logo não há compressão/alongamento horizontal além da translação).
Passo 2
Escolher a função elementar de partida. A função elementar natural aqui é
Lembrete sobre
:
- Domínio de
: porque só podemos tirar raiz quadrada de números não negativos. - Imagem de
: porque a raiz quadrada produz valores não negativos. - Forma do gráfico: começa em
, cresce para a direita de forma decrescente na inclinação (a curva sobe, mas cada vez mais devagar). Pontos úteis: , , , .
Explicação didática rápida: a função
é definida só quando
; seu gráfico é uma “meia-parábola” aberta para a direita (mais precisamente, uma raiz que começa no eixo
e sobe suavemente).
Passo 3
Primeira transformação: horizontal por substituição
. Considere
O que significa substituir
por
:
- Regra prática: substituir
por desloca a curva para a direita em ; substituir por desloca a curva para a esquerda em . Aqui temos , portanto é um deslocamento horizontal para a esquerda de unidades. - Consequência no domínio: para que a raiz seja definida precisamos de
. Assim
logo o domínio de
é
.
Como os pontos da função
se movem em
:
- O ponto
de vira em . - O ponto
de vira em . - O ponto
de vira em .
Resumo intuitivo: deslocamento para a esquerda de 2 unidades; a “início” da curva passa de
para
.
Passo 4
Segunda transformação: multiplicação externa por
. Considere agora
O que significa multiplicar a saída por
:
- É uma compressão vertical (ou “encolhimento” vertical) pelo fator
. Cada valor de passa a ser em . - Como o fator é positivo e não há sinal negativo, NÃO há reflexão vertical; a monotonicidade (função crescente) é preservada.
Como os pontos de
se transformam em
:
-
permanece porque . -
vira . -
vira . -
(se ) vira .
Efeito na forma: a curva tem mesma forma horizontal (mesma tendência), começa em
e cresce para a direita, mas seus valores em
são metade dos de
, ou seja, a subida é mais “suave” verticalmente.
Passo 5
Resumo das transformações (ordem e motivo):
- Começa em
. - Aplicar
(dentro da raiz) desloca o gráfico 2 unidades para a esquerda → . - Aplicar multiplicação externa por
comprime verticalmente por fator → .
Observações sobre comportamento e derivada (ajuda para esboçar o gráfico com precisão):
- Para
, cresce sem limite, porém lentamente; multiplicando por continua a crescer sem limite. Assim a imagem será não limitada superiormente. - A derivada para
pode ser calculada para ver a inclinação local:
Isto mostra que
quando
, ou seja, perto do ponto inicial
a curva sobe muito íngreme (tendência de tangente vertical). Para
grandes,
tende a
, ou seja, a curva vai ficando cada vez mais “horizontal”.
Para esboçar: marque alguns pontos calculados acima (
,
,
,
) e trace uma curva suave passando por eles, crescente, com inclinação muito grande perto de
e decrescendo à medida que
cresce.
Passo 6
Determinar domínio e imagem (explicação passo a passo):
Domínio:
- A expressão dentro da raiz é
. - Condição para raiz quadrada real:
. - Logo
Imagem (intervalo de valores de
):
- Para
, temos . - Multiplicando por
(fator positivo) não muda o sinal nem a convenção de “começar em zero”; apenas escala verticalmente. - Assim os valores de
variam de até . - Logo
Passo 7
Pontos-chave para plotar (resumo para a prova, sem calculadora pesada):
- Ponto inicial (vértice da curva):
. - Valores fáceis:
porque e . - Outro ponto:
porque e . - Mais um:
porque e . - Trace a curva começando em
, subindo rapidamente imediatamente à direita de , depois subindo cada vez mais devagar, passando por esses pontos.
Dicas práticas para a prova:
- Sempre identifique primeiro a função base (aqui
). - Olhe para transformações “dentro” (argumento) para deslocamentos horizontais (atenção ao sinal invertido:
→ direita, → esquerda). - Olhe para transformações “fora” (multiplicando a função) para escalas/reflexões verticais.
- Marque 3–4 pontos fáceis e conecte com a forma conhecida da função base; isso dá um gráfico suficiente rápido.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: