Faça um gráfico de superfície de
.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra desenhar o gráfico de superfície da função
Isso é conteúdo de Cálculo Multivariável: a gente vai precisar entender domínio (onde a função faz sentido), malha de pontos
, avaliar
em cada ponto e usar uma ferramenta (por exemplo Python + Matplotlib) pra “levantar” essa superfície.
Passo 2
Vamos analisar a teoria:
- Domínio – A função
só dá problema se , ou seja, em . A gente pode definir como o limite (que dá zero), ou simplesmente pular esse ponto na malha. - Malha de pontos – Em Cálculo, a gente costuma criar um grid de
espaçados uniformemente (por ex. de a em cada direção). Cada par gera um . - Superfície – O gráfico é dado pela coleção de pontos
. Visualmente, é uma “tela” que sobe e desce no espaço 3D.
Passo 3
Mão na massa com um exemplo em Python (você pode rodar num Jupyter Notebook ou VSCode):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# 1) Criar grid
x = np.linspace(-3, 3, 200)
y = np.linspace(-3, 3, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 2) Calcular Z, evitando divisão por zero
Z = np.zeros_like(X)
mask = (X**2 + Y**2) != 0
Z[mask] = (X[mask]**2 * Y[mask]) / (X[mask]**2 + Y[mask]**2)
# ponto (0,0) fica Z=0, que é o limite
# 3) Plotar superfície
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', edgecolor='none')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title(r'$z = \frac{x^2\,y}{x^2 + y^2}$')
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=10)
plt.show()
Explicando rapidinho:
np.meshgrid
cria a grade. - A divisão só é feita onde
. plot_surface
desenha a malha 3D.
Passo 4
O que acontece no gráfico?
- Para
, a superfície fica positiva, cresce conforme aumenta até um pico e depois decai. - Para
, a superfície fica negativa. - No eixo
, a função é zero (pois ). - Em
, é uma crista suave passando por zero.
Resposta
Você vai obter um gráfico de superfície 3D da função
com aspecto parecido a um “funil” esticado ao longo do eixo
, positivo para
e negativo para
, e zero sempre que
ou em
. Use o código acima para gerar a figura no seu computador!