Faça um gráfico de superfície de z=(x^2 * y) /(x^2+y^2).

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra desenhar o gráfico de superfície da função
z = x^2,yx^2 + y^2,
Isso é conteúdo de Cálculo Multivariável: a gente vai precisar entender domínio (onde a função faz sentido), malha de pontos , avaliar em cada ponto e usar uma ferramenta (por exemplo Python + Matplotlib) pra “levantar” essa superfície.

Passo 2

Vamos analisar a teoria:
  1. Domínio – A função ​ ​ só dá problema se , ou seja, em . A gente pode definir como o limite (que dá zero), ou simplesmente pular esse ponto na malha.
  2. Malha de pontos – Em Cálculo, a gente costuma criar um grid de espaçados uniformemente (por ex. de a em cada direção). Cada par gera um .
  3. Superfície – O gráfico é dado pela coleção de pontos . Visualmente, é uma “tela” que sobe e desce no espaço 3D.

Passo 3

Mão na massa com um exemplo em Python (você pode rodar num Jupyter Notebook ou VSCode):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 1) Criar grid
x = np.linspace(-3, 3, 200)
y = np.linspace(-3, 3, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 2) Calcular Z, evitando divisão por zero
Z = np.zeros_like(X)
mask = (X**2 + Y**2) != 0
Z[mask] = (X[mask]**2 * Y[mask]) / (X[mask]**2 + Y[mask]**2)
# ponto (0,0) fica Z=0, que é o limite

# 3) Plotar superfície
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', edgecolor='none')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title(r'$z = \frac{x^2\,y}{x^2 + y^2}$')
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=10)
plt.show()
Explicando rapidinho:
  • np.meshgrid cria a grade z = x^2,yx^2 + y^2.
  • A divisão só é feita onde .
  • plot_surface desenha a malha 3D.

Passo 4

O que acontece no gráfico?
  • Para , a superfície fica positiva, cresce conforme aumenta até um pico e depois decai.
  • Para , a superfície fica negativa.
  • No eixo , a função é zero (pois ).
  • Em , é uma crista suave passando por zero.

Resposta

Você vai obter um gráfico de superfície 3D da função
z = x^2,yx^2 + y^2,
com aspecto parecido a um “funil” esticado ao longo do eixo , positivo para e negativo para , e zero sempre que ou em . Use o código acima para gerar a figura no seu computador!

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