Faça um gráfico com vários membros das família de curvas x=\operatorname{sen} t+\operatorname{sen} n t, y=\cos t+\cos n t, onde n é um número inteiro positivo. Quais as características que essas curvas têm em comum? O que acontece quando n cresce?

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas paramétricas
x(t)=\sin t+\sin(nt),\quad y(t)=\cos t+\cos(nt),
onde n é um inteiro positivo, e nos pede para (i) traçar alguns desses casos; (ii) identificar características comuns; (iii) descrever o que ocorre quando n\to\infty.
Para isso vamos usar a representação complexa (soma de fasores) e deduzir uma forma polar da curva, o que nos permite extrair simetrias e número de “pétalas” do gráfico.

Passo 2

Escrevendo em notação complexa
x(t)+i\,y(t)=\bigl(\sin t+i\cos t\bigr)+\bigl(\sin(nt)+i\cos(nt)\bigr) =\;e^{i(\pi/2 -t)}+e^{i(\pi/2 -n t)}
ou, mais simplesmente (mudando a fase por conveniência),
e^{i t}+e^{i n t}.
Agora fatoramos essa soma usando a identidade de soma de exponenciais:
e^{i t}+e^{i n t} =2\cos\!\bigl(\tfrac{n-1}{2}t\bigr)\;e^{\,i\frac{n+1}{2}t}.

Passo 3

Da fatoração acima obtemos imediatamente a forma polar da curva:
r(t)=\bigl|e^{i t}+e^{i n t}\bigr| =2\Bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{n-1}{2}t\bigr)\Bigr|, \qquad \varphi(t)=\arg\bigl(e^{i t}+e^{i n t}\bigr) =\frac{n+1}{2}\,t.
Isto é, em coordenadas polares (r,\varphi) a curva satisfaz
r = 2\cos\!\Bigl(\tfrac{n-1}{2}\,t\Bigr), \quad \varphi = \tfrac{n+1}{2}\,t,
com t variando de 0 a 2\pi.

Passo 4

Para encontrar as “pétalas” ou laços, buscamos r=0.
2\cos\!\Bigl(\tfrac{n-1}{2}t\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{n-1}{2}t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad t_k=\frac{\pi+2k\pi}{\,n-1\,},\quad k=0,1,\dots,n-2.
Há exatamente n-1 valores distintos de t em [0,2\pi) que anulam r. Logo, a curva possui n-1 laços (ou “pétalas”) que se encontram na origem.

Passo 5

Da forma polar nota-se também que, se (r,\varphi) está na curva então, para cada laço, há um deslocamento angular de
\Delta\varphi = \varphi(t_{k+1})-\varphi(t_k) =\frac{n+1}{2}\,\frac{2\pi}{n-1} =\frac{(n+1)\pi}{\,n-1\,},
mas visto que r muda de sinal alternadamente, a curva é efetivamente invariante por rotações de
\frac{2\pi}{\,n-1\,}
em torno da origem (simetria diédrica \mathrm{D}_{n-1}). Além disso, o raio máximo ocorre quando \cos((n-1)t/2)=\pm1, dando \max r=2 e \min r=-2, ou seja, as pétalas atingem distância 2 da origem.

Passo 6

À medida que n cresce temos:
  • o número de pétalas cresce como n-1;
  • cada pétala fica mais “estreita” (os zeros de \cos((n-1)t/2) aproximam-se uns dos outros);
  • o gráfico torna-se cada vez mais oscilatório dentro da coroa de raio máximo 2.
    No limite n\to\infty, as pétalas se multiplicam e o traçado oscila muito rápido entre r=-2 e r=2, aproximando-se de uma “faixa radial” densa entre -2 e 2.

Resposta

Em comum todas as curvas são fechadas, passam pela origem em n-1 pontos, têm simetria diédrica de ordem n-1 e raio máximo igual a 2. Quando n cresce, o número de pétalas cresce (ficam n-1), cada uma delas estreita-se e o traçado torna-se cada vez mais denso e oscilatório.

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