Faça os gráficos das seguintes funções:
f(x)=4 x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4x
e pede para “fazer os gráficos” dessa função. Informações claras do enunciado:
  • A expressão da função é \,f(x)=4x\,.
  • A tarefa é representar graficamente essa função no plano cartesiano (e entender suas características úteis para traçar o gráfico).

Passo 2

O que é preciso saber antes de desenhar (mini-aula): reta, coeficiente angular e coeficiente linear.
  • Uma função afim (ou linear no sentido de reta) tem a forma geral
f(x)=ax+b,
onde:
  • \,a\, é o coeficiente angular (declive, slope): indica a inclinação da reta — quanto a função sobe (ou desce) quando x aumenta de uma unidade;
  • \,b\, é o coeficiente linear (ordenada na origem): o valor de f quando x=0, ou seja o ponto onde a reta cruza o eixo y.
  • Graficamente, para traçar uma reta basta conhecer um ponto e a inclinação, ou dois pontos distintos.
  • A interpretação do coeficiente angular: se a>0, a reta é crescente; se a<0, é decrescente; se a=0, é constante.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: identifique a e b em \,f(x)=4x\,.
  • Aqui \,a=4 e \,b=0.
  • Isso já diz duas coisas úteis imediatamente:
    • A reta passa pela origem porque \,b=0; o ponto (0,0) está no gráfico.
    • A inclinação é \,4: para cada aumento de \,1 em x a função aumenta \,4 unidades em y.

Passo 4

Domínio, imagem, interceptos e monotonicidade (explicando o porquê).
  • Domínio: pode-se usar qualquer x\in\mathbb{R} na expressão \,4x, então o domínio é \,\mathbb{R}.
    • Em notação: \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Imagem: para qualquer número real y existe x=\dfrac{y}{4} tal que f(x)=y. Logo a imagem é \mathbb{R}.
    • Em notação: \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.
  • Interceptos:
    • Intercepto em y: \,f(0)=4\cdot 0=0 → ponto (0,0).
    • Intercepto em x: resolver 4x=0 x=0 → mesmo ponto (0,0).
  • Monotonicidade: como \,a=4>0, a função é estritamente crescente em todo o domínio.

Passo 5

Escolhendo pontos para plotar (passo a passo numérico, sem pular etapas).
Vou calcular alguns valores simples para obter pontos que facilitam o desenho:
  • Para x=-2: f(-2)=4\cdot(-2)=-8,ponto (-2,-8).
  • Para x=-1: f(-1)=4\cdot(-1)=-4,ponto (-1,-4).
  • Para x=-\tfrac{1}{2}: f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-2,ponto \left(-\tfrac{1}{2},-2\right).
  • Para x=0: f(0)=0,ponto (0,0).
  • Para x=\tfrac{1}{2}: f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=4\cdot\tfrac{1}{2}=2,ponto \left(\tfrac{1}{2},2\right).
  • Para x=1: f(1)=4,ponto (1,4).
  • Para x=2: f(2)=8,ponto (2,8).
Esses pontos formam uma linha reta: eles são colineares porque a diferença de y dividida pela diferença de x é sempre 4 (o coeficiente angular).

Passo 6

Como traçar o gráfico na prática (orientação para a prova, sem calculadora):
  1. Desenhe o plano cartesiano com eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,0) — a reta passa por aí.
  3. Usando a inclinação \,4, faça o seguinte procedimento simples: a partir de um ponto qualquer, mova-se uma unidade à direita (aumente x em 1) e suba 4 unidades (aumente y em 4). Por exemplo, de (0,0) vá para (1,4). Esse é o “rise/run” típico.
  4. Marque também alguns pontos negativos (por exemplo (-1,-4)) para mostrar a continuação da reta no lado esquerdo.
  5. Ligue os pontos com uma régua; como é uma função linear, o gráfico é exatamente uma reta infinita nestes dois sentidos.
  6. Se precisar de escala, escolha uma escala que permita visualizar o crescimento: por exemplo, cada unidade no eixo x corresponde a 1, e cada unidade no eixo y corresponde a 1 (ou, se quiser mais compactado, cada passo no eixo y pode representar 2 unidades reais, mas atenção para manter proporção).

Passo 7

Interpretações úteis para a prova (dicas rápidas e exemplos extras):
  • Para verificar se um ponto (x_0,y_0) pertence ao gráfico, calcule 4x_0 e veja se é igual a y_0.
    • Ex.: (3,12) pertence porque 4\cdot 3=12.
    • Ex.: (2,7) não pertence porque 4\cdot 2=8\neq 7.
  • Um jeito rápido de obter pontos fracionários: use a divisão por 4. Se quiser o ponto com y=1, escolha x=\tfrac{1}{4} porque f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=1.
  • Lembre-se: reta passando pela origem com declive 4 é mais íngreme que uma reta y=x (que tem declive 1).

Passo 8

Resumo e incentivo final: você já sabe tudo o que precisa para desenhar a reta \,f(x)=4x. Trace os pontos que calculei, use a régua e a inclinação \,4 como guia. Vai dar certo — respira fundo e desenha!

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}
Gráfico: reta passando pela origem com coeficiente angular 4 (função estritamente crescente)
Pontos para plotar: (-2,-8),\;(-1,-4),\;\left(-\tfrac{1}{2},-2\right),\;(0,0),\;\left(\tfrac{1}{2},2\right),\;(1,4),\;(2,8)

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