Faça os gráficos das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para “fazer os gráficos” dessa função. Informações claras do enunciado:
- A expressão da função é
. - A tarefa é representar graficamente essa função no plano cartesiano (e entender suas características úteis para traçar o gráfico).
Passo 2
O que é preciso saber antes de desenhar (mini-aula): reta, coeficiente angular e coeficiente linear.
- Uma função afim (ou linear no sentido de reta) tem a forma geral
onde:
-
é o coeficiente angular (declive, slope): indica a inclinação da reta — quanto a função sobe (ou desce) quando aumenta de uma unidade; -
é o coeficiente linear (ordenada na origem): o valor de quando , ou seja o ponto onde a reta cruza o eixo . - Graficamente, para traçar uma reta basta conhecer um ponto e a inclinação, ou dois pontos distintos.
- A interpretação do coeficiente angular: se
, a reta é crescente; se , é decrescente; se , é constante.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: identifique
e
em
.
- Aqui
e . - Isso já diz duas coisas úteis imediatamente:
- A reta passa pela origem porque
; o ponto está no gráfico. - A inclinação é
: para cada aumento de em a função aumenta unidades em .
- A reta passa pela origem porque
Passo 4
Domínio, imagem, interceptos e monotonicidade (explicando o porquê).
- Domínio: pode-se usar qualquer
na expressão , então o domínio é . - Em notação:
.
- Em notação:
- Imagem: para qualquer número real
existe tal que . Logo a imagem é . - Em notação:
.
- Em notação:
- Interceptos:
- Intercepto em
: → ponto . - Intercepto em
: resolver → → mesmo ponto .
- Intercepto em
- Monotonicidade: como
, a função é estritamente crescente em todo o domínio.
Passo 5
Escolhendo pontos para plotar (passo a passo numérico, sem pular etapas).
Vou calcular alguns valores simples para obter pontos que facilitam o desenho:
Vou calcular alguns valores simples para obter pontos que facilitam o desenho:
- Para
: ponto . - Para
: ponto . - Para
: ponto . - Para
: ponto . - Para
: ponto . - Para
: ponto . - Para
: ponto .
Esses pontos formam uma linha reta: eles são colineares porque a diferença de
dividida pela diferença de
é sempre
(o coeficiente angular).
Passo 6
Como traçar o gráfico na prática (orientação para a prova, sem calculadora):
- Desenhe o plano cartesiano com eixos
e . - Marque o ponto
— a reta passa por aí. - Usando a inclinação
, faça o seguinte procedimento simples: a partir de um ponto qualquer, mova-se uma unidade à direita (aumente em ) e suba unidades (aumente em ). Por exemplo, de vá para . Esse é o “rise/run” típico. - Marque também alguns pontos negativos (por exemplo
) para mostrar a continuação da reta no lado esquerdo. - Ligue os pontos com uma régua; como é uma função linear, o gráfico é exatamente uma reta infinita nestes dois sentidos.
- Se precisar de escala, escolha uma escala que permita visualizar o crescimento: por exemplo, cada unidade no eixo
corresponde a , e cada unidade no eixo corresponde a (ou, se quiser mais compactado, cada passo no eixo pode representar unidades reais, mas atenção para manter proporção).
Passo 7
Interpretações úteis para a prova (dicas rápidas e exemplos extras):
- Para verificar se um ponto
pertence ao gráfico, calcule e veja se é igual a . - Ex.:
pertence porque . - Ex.:
não pertence porque .
- Ex.:
- Um jeito rápido de obter pontos fracionários: use a divisão por
. Se quiser o ponto com , escolha porque . - Lembre-se: reta passando pela origem com declive
é mais íngreme que uma reta (que tem declive ).
Passo 8
Resumo e incentivo final: você já sabe tudo o que precisa para desenhar a reta
. Trace os pontos que calculei, use a régua e a inclinação
como guia. Vai dar certo — respira fundo e desenha!
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: reta passando pela origem com coeficiente angular (função estritamente crescente)
Pontos para plotar:
Imagem:
Gráfico: reta passando pela origem com coeficiente angular
Pontos para plotar: