\text{função }f(x,y)=\frac{x^{4}\,\operatorname{sen}^{6}\bigl(x+y^{5}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}\quad\text{(definida fora de }(0,0)\text{)},
o ponto de interesse é (0,0) e devemos determinar o valor do limite quando (x,y) tende a (0,0).
Passo 2
Vamos começar lembrando uma desigualdade útil sobre a função seno que usaremos em seguida. Para todo t\in\mathbb{R} vale
|\operatorname{sen} t|\le |t|.
Explicação rápida: essa desigualdade é clássica e pode ser vista a partir da série de Taylor de \operatorname{sen} t ou por argumentos geométricos; o importante aqui é que, para qualquer t, o valor absoluto de \operatorname{sen} t não excede |t|. Consequência imediata:
(Comentário de verificação rápida: caminhos como y=0 dão a expressão \dfrac{x^{4}\operatorname{sen}^{6}(x)}{x^{2}}=x^{2}\operatorname{sen}^{6}(x)\to 0, coerente com a conclusão.)