Faça o que se pede:
( 1,5 pontos) Determine \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4} \operatorname{sen}^{6}\left(x+y^{5}\right)}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}\,\operatorname{sen}^{6}\bigl(x+y^{5}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
\text{função }f(x,y)=\frac{x^{4}\,\operatorname{sen}^{6}\bigl(x+y^{5}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}\quad\text{(definida fora de }(0,0)\text{)},çã
o ponto de interesse é (0,0) e devemos determinar o valor do limite quando (x,y) tende a (0,0).

Passo 2

Vamos começar lembrando uma desigualdade útil sobre a função seno que usaremos em seguida. Para todo t\in\mathbb{R} vale
|\operatorname{sen} t|\le |t|.
Explicação rápida: essa desigualdade é clássica e pode ser vista a partir da série de Taylor de \operatorname{sen} t ou por argumentos geométricos; o importante aqui é que, para qualquer t, o valor absoluto de \operatorname{sen} t não excede |t|. Consequência imediata:
|\operatorname{sen}^{6}t|=\bigl|\operatorname{sen} t\bigr|^{6}\le |t|^{6}.

Passo 3

Definimos o raio
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
É padrão em limites em \mathbb{R}^{2} usar r porque quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0. Note que sempre vale
|x|\le r,\qquad |y|\le r.
Daí
|y|^{5}\le r^{5}.
Logo, para (x,y) com r\le 1 (podemos restringir a uma vizinhança pequena ao estudar o limite), temos r^{5}\le r e então
|x+y^{5}|\le |x|+|y|^{5}\le r+r^{5}\le r+r =2r.
Observação: restringir a r\le 1 é legítimo porque estamos analisando o comportamento quando r se aproxima de 0.

Passo 4

Usando a desigualdade do seno do Passo 2 e a estimativa do Passo 3, obtemos
\bigl|\operatorname{sen}^{6}\bigl(x+y^{5}\bigr)\bigr|\le |x+y^{5}|^{6}\le (2r)^{6}.
Também x^{4}\le r^{4}. Portanto, o valor absoluto da função fica limitado por
\left|\frac{x^{4}\,\operatorname{sen}^{6}\bigl(x+y^{5}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}\right| \le \frac{r^{4}\,(2r)^{6}}{r^{2}}.
Simplificando a expressão do lado direito:
\frac{r^{4}\,(2r)^{6}}{r^{2}}=\frac{r^{4}\,2^{6}r^{6}}{r^{2}}=2^{6}r^{8}=64\,r^{8}.

Passo 5

Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), temos 64\,r^{8}\to 0. Pelo confronto (desigualdade) concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}\,\operatorname{sen}^{6}\bigl(x+y^{5}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}=0.
(Comentário de verificação rápida: caminhos como y=0 dão a expressão \dfrac{x^{4}\operatorname{sen}^{6}(x)}{x^{2}}=x^{2}\operatorname{sen}^{6}(x)\to 0, coerente com a conclusão.)

Resposta

0

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