O enunciado pede para calcular (ou demonstrar que não existe) uma grande lista de limites: primeiro os itens 4(a)–4(v) que são limites no infinito de várias funções (racionais, com raízes, exponenciais, trigonométricas etc.) e depois os itens 5(a)–5(l) que envolvem valores absolutos, raízes, funções trig, exponenciais e comportamento em pontos finitos ou laterais. Vou tratar cada item separadamente, mostrando a técnica adequada (dividir pelo maior grau, usar conjugado, analisar sinal do valor absoluto, usar a desigualdade do seno, usar comportamento de exponenciais, etc.). Abaixo resolvo item a item, explicando passo a passo as ideias usadas.
Passo 2
4(a) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x+3}.\n
Técnica e ideia: para x\to\infty termos que envolvem x no denominador tornam a fração pequena. Divido numerador e denominador por x ou observo que 2x+3\to\infty, então a fração tende a 0.\n
Cálculo:
4(b) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x+5}{x-4}.\n
Técnica: para razões de polinômios com mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes líderes. Divido por x.\n
Cálculo:
4(c) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1-x-x^{2}}{2x^{2}-7}.\n
Técnica: comparar termos de maior grau. Aqui os maiores graus são x^{2} tanto no numerador quanto no denominador.\n
Cálculo: o termo dominante no numerador é -x^{2} (pois 1-x-x^{2}=-x^{2}-x+1), no denominador é 2x^{2}. Portanto
4(f) \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t-t\sqrt{t}}{2t^{3/2}+3t-5}.\n
Técnica: identifique o maior expoente: t^{3/2}. Divida numerador e denominador por t^{3/2}.\n
Cálculo:
4(h) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}+1}}.\n
Técnica: fatorar x^{4} dentro da raiz: \sqrt{x^{4}+1}=|x^{2}|\sqrt{1+1/x^{4}}. Para x\to\infty, |x^{2}|=x^{2}.\n
Cálculo:
4(i) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}.\n
Técnica: dentro da raiz fatorar x^{6}: \sqrt{9x^{6}-x}=|x^{3}|\sqrt{9-1/x^{5}}. Para x\to\infty, |x^{3}|=x^{3}.\n
Cálculo:
4(j) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}.\n
Técnica: mesma manipulação, mas para x\to-\infty temos |x^{3}|=-x^{3} porque x^{3} é negativo. Então \sqrt{9x^{6}-x}=|x^{3}|\sqrt{9-1/x^{5}}=-x^{3}\sqrt{9-1/x^{5}}.\n
Cálculo:
4(k) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\big).\n
Técnica: forma indeterminada \infty-\infty. Multiplico e divido pelo conjugado para eliminar a diferença.\n
Cálculo:
4(l) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\big(x+\sqrt{x^{2}+2x}\big).\n
Técnica: indeterminação do tipo -\infty + \infty; usar conjugado ou dividir por x. Vou usar conjugado: \
Divida numerador e denominador por x (notando que x\to-\infty, x\neq 0):
\frac{-2}{1-\frac{\sqrt{x^{2}+2x}}{x}}.
Agora \displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}+2x}}{x}=\frac{|x|\sqrt{1+2/x}}{x}=-\sqrt{1+2/x}\xrightarrow[x\to-\infty]{}-1. Logo o denominador tende a 1-(-1)=2, e o limite é
\frac{-2}{2}=-1.
Passo 14
4(m) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(\sqrt{x^{2}+ax}-\sqrt{x^{2}+bx}\big) com a,b constantes.\n
Técnica: usar conjugado. Multiplicando por conjugado,
4(n) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{x^{2}+1}.\n
Técnica: para x\to\infty, \sqrt{x^{2}+1}\sim x cresce sem limite.\n
Conclusão: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{x^{2}+1}=+\infty.
Passo 16
4(o) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}-3x^{2}+x}{x^{3}-x+2}.\n
Técnica: grau do numerador é 4 e do denominador é 3, então a função cresce como x para x\to\infty. Mais formalmente, dividir por x^{3} dá termo dominante x.\n
Conclusão: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}-3x^{2}+x}{x^{3}-x+2}=+\infty.
Passo 17
4§ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(e^{-x}+2\cos 3x\big).\n
Técnica: e^{-x}\to 0 quando x\to\infty, mas \cos 3x oscila entre -1 e 1. O termo oscilatório não se anula com e^{-x} porque 2\cos 3x continua oscilando.\n
Conclusão: o limite não existe (a expressão oscila entre aproximadamente -2 e 2 conforme x varia, com uma pequena tendência de e^{-x} para 0). Portanto não há limite.
Passo 18
4(q) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x^{4}+x^{5}).\n
Técnica: fatorar x^{5}: x^{5}(1+1/x). Para x\to-\infty, x^{5}\to -\infty e 1+1/x\to 1.\n
Conclusão: \displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x^{4}+x^{5})=-\infty.
Passo 19
4® \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1+x^{6}}{x^{4}+1}.\n
Técnica: para grandes |x| os termos de maior grau dominam: x^{6}/x^{4}=x^{2}.\n
Conclusão: como x^{2}\to+\infty quando x\to-\infty, o limite é +\infty.
Passo 20
4(s) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\operatorname{arctg}\big(e^{x}\big).\n
Técnica: e^{x}\to 0^{+} quando x\to-\infty. \operatorname{arctg} é contínua, então \operatorname{arctg}(e^{x})\to\operatorname{arctg}(0)=0.\n
Conclusão: limite 0.
Passo 21
4(t) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}}.\n
Técnica: dividir numerador e denominador por e^{3x}.\n
Cálculo:
4(v) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}+1}.\n
Técnica: \sin^{2}x é limitada entre 0 e 1, divisor cresce sem limite, então por comparação o quociente tende a 0.\n
Conclusão: limite 0.
Passo 24
5(a) \displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+|x-3|).\n
Técnica: verificar limites laterais. Para x>3: |x-3|=x-3, expressão =2x+(x-3)=3x-3 que em x\to3 dá 6. Para x<3: |x-3|=3-x, expressão =2x+(3-x)=x+3 que em x\to3 dá 6. Ambos os lados dão 6, logo o limite é 6.
Passo 25
5(b) \displaystyle \lim_{x\to 6}\frac{2x+12}{|x+6|}.\n
Técnica: no ponto x=6 temos x+6=12>0, então |x+6|=x+6 numa vizinhança de 6. Simplifica para \frac{2x+12}{x+6}=2.\n
Conclusão: limite 2.
Passo 26
5(c) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{2x-1}{|2x^{3}-x^{2}|}.\n
Técnica: fatorar o denominador: 2x^{3}-x^{2}=x^{2}(2x-1). Para 0<x<1/2, 2x-1<0 então 2x^{3}-x^{2}<0 e |2x^{3}-x^{2}|=-x^{2}(2x-1)=x^{2}(1-2x).\n
Cálculo:
Para x\to0^{+}, o numerador tende a -1 e o denominador tende a 0^{+} (pois x^{2}>0 e 1-2x\to1>0). Logo a fração tende a -\infty.\n
Conclusão: limite é -\infty.
Passo 27
5(d) \displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{5+\sqrt{x}}{\sqrt{5+x}}.\n
Técnica: funções envolvidas são contínuas em x=4 (raízes definidas), então basta substituir.\n
Cálculo:
5(g) \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{2-|x|}{2+x}.\n
Técnica: perto de x=2, x>0 então |x|=x. A expressão torna-se \frac{2-x}{2+x} que em x=2 vale 0/(4)=0.\n
Conclusão: limite 0.
Passo 31
5(h) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\Big).\n
Técnica: para x>0 temos |x|=x, então \frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}=0 para todos x>0. Portanto o limite lateral direito é 0.\n
Conclusão: limite (à direita) 0.
Passo 32
5(i) (repetição de 5(h)) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\Big).\n
Mesma análise que em 5(h): resultado 0.
Passo 33
5(j) \displaystyle \lim_{x\to 2}\arctan\!\Big(\frac{x^{2}-4}{3x^{2}-6x}\Big).\n
Técnica: simplificar a expressão interna. Observe x^{2}-4=(x-2)(x+2) e 3x^{2}-6x=3x(x-2). Para x\neq 2 a razão se simplifica:\n
5(k) \displaystyle \lim_{x\to 0}\big(x^{2}\cos 20\pi x\big).\n
Técnica: x^{2}\to 0 e \cos é limitada (|\cos|\le 1). Pelo teorema do confronto, produto tende a 0.\n
Conclusão: limite 0.
Passo 35
5(l) \displaystyle \lim_{x\to 0}\sqrt{x^{3}+x^{2}}\sin\frac{\pi}{x}.\n
Técnica: usar desigualdade e comportamento da raiz. Para x próximo de 0 (positivo ou negativo), x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1) e para x suficientemente pequeno |x+1| é limitada e positiva, logo \sqrt{x^{3}+x^{2}} tem magnitude comparável a |x|. Especificamente, existe constante C tal que |\sqrt{x^{3}+x^{2}}|\le C|x| para x próximo de 0. Como \left|\sin\frac{\pi}{x}\right|\le 1, temos