1. Calcule o limite ou demonstre que não existe.
    (a) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{2 x+3}
    (b) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x+5}{x-4}
    (c) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1-x-x^{2}}{2 x^{2}-7}
    (d) \lim _{y \rightarrow \infty} \frac{2-3 y^{2}}{5 y^{2}+4 y}
    (e) \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{t}+t^{2}}{2 t-t^{2}}
    (f) \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{t-t \sqrt{t}}{2 t^{3 / 2}+3 t-5}
    (g) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(2 x^{2}+1\right)^{2}}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+x\right)}
    (h) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}+1}}
    (i) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6}-x}}{x^{3}+1}
    (j) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{9 x^{6}-x}}{x^{3}+1}
    (k) \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x\right)
    (l) \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x+\sqrt{x^{2}+2 x}\right)
    (m) \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right)
    (n) \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+1}
    (o) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}-3 x^{2}+x}{x^{3}-x+2}
    § \lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{-x}+2 \cos 3 x\right)
    (q) \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{4}+x^{5}\right)
    ® \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1+x^{6}}{x^{4}+1}
    (s) \lim _{x \rightarrow-\infty} \operatorname{arctg}\left(e^{x}\right)
    (t) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{3 x}-e^{-3 x}}{e^{3 x}+e^{-3 x}}
    (u) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-e^{x}}{1+2 e^{x}}
    (v) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{sen}^{2} x}{x^{2}+1}
  2. Calcule o limite ou demonstre que não existe
    (a) \lim _{x \rightarrow 3}(2 x+|x-3|)
    (b) \lim _{x \rightarrow 6} \frac{2 x+12}{|x+6|}
    (c) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 x-1}{\left|2 x^{3}-x^{2}\right|}
    (d) \lim _{x \rightarrow 4} \frac{5+\sqrt{x}}{\sqrt{5+x}}
    (e) \lim _{x \rightarrow \pi} \operatorname{sen}(x+\operatorname{sen} x)
    (f) \lim _{x \rightarrow 1} e^{x^{2}-x}
    (g) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-|x|}{2+x}
    (h) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)
    (i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)
    (j) \lim _{x \rightarrow 2} \operatorname{arctg}\left(\frac{x^{2}-4}{3 x^{2}-6 x}\right)
    (k) \lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2} \cos 20 \pi x\right)
    (l) \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{3}+x^{2}} \operatorname{sen} \frac{\pi}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (ou demonstrar que não existe) uma grande lista de limites: primeiro os itens 4(a)–4(v) que são limites no infinito de várias funções (racionais, com raízes, exponenciais, trigonométricas etc.) e depois os itens 5(a)–5(l) que envolvem valores absolutos, raízes, funções trig, exponenciais e comportamento em pontos finitos ou laterais. Vou tratar cada item separadamente, mostrando a técnica adequada (dividir pelo maior grau, usar conjugado, analisar sinal do valor absoluto, usar a desigualdade do seno, usar comportamento de exponenciais, etc.). Abaixo resolvo item a item, explicando passo a passo as ideias usadas.

Passo 2

4(a) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x+3}.\n
Técnica e ideia: para x\to\infty termos que envolvem x no denominador tornam a fração pequena. Divido numerador e denominador por x ou observo que 2x+3\to\infty, então a fração tende a 0.\n
Cálculo:
\frac{1}{2x+3}=\frac{1/x}{2+3/x}\xrightarrow[x\to\infty]{} \frac{0}{2+0}=0.

Passo 3

4(b) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x+5}{x-4}.\n
Técnica: para razões de polinômios com mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes líderes. Divido por x.\n
Cálculo:
\frac{3x+5}{x-4}=\frac{3+5/x}{1-4/x}\xrightarrow[x\to\infty]{}\frac{3+0}{1-0}=3.

Passo 4

4(c) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1-x-x^{2}}{2x^{2}-7}.\n
Técnica: comparar termos de maior grau. Aqui os maiores graus são x^{2} tanto no numerador quanto no denominador.\n
Cálculo: o termo dominante no numerador é -x^{2} (pois 1-x-x^{2}=-x^{2}-x+1), no denominador é 2x^{2}. Portanto
\frac{1-x-x^{2}}{2x^{2}-7}\sim\frac{-x^{2}}{2x^{2}}\xrightarrow[x\to-\infty]{}-\frac{1}{2}.

Passo 5

4(d) \displaystyle \lim_{y\to\infty}\frac{2-3y^{2}}{5y^{2}+4y}.\n
Técnica: coeficientes dos termos de maior grau y^{2}.\n
Cálculo:
\frac{2-3y^{2}}{5y^{2}+4y}=\frac{-3+2/y^{2}}{5+4/y}\xrightarrow[y\to\infty]{}\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}.

Passo 6

4(e) \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt{t}+t^{2}}{2t-t^{2}}.\n
Técnica: comparar maiores potências: t^{2} domina. Divido tudo por t^{2}.\n
Cálculo:
\frac{\sqrt{t}+t^{2}}{2t-t^{2}}=\frac{t^{-3/2}+1}{2/t-1}\xrightarrow[t\to\infty]{}\frac{0+1}{0-1}=-1.

Passo 7

4(f) \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t-t\sqrt{t}}{2t^{3/2}+3t-5}.\n
Técnica: identifique o maior expoente: t^{3/2}. Divida numerador e denominador por t^{3/2}.\n
Cálculo:
\frac{t-t\sqrt{t}}{2t^{3/2}+3t-5}=\frac{t^{1}-t^{3/2}}{2t^{3/2}+3t-5} =\frac{t^{-1/2}-1}{2+3t^{-1/2}-5t^{-3/2}}\xrightarrow[t\to\infty]{}\frac{0-1}{2+0-0}=-\frac{1}{2}.

Passo 8

4(g) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(2x^{2}+1)^{2}}{(x-1)^{2}(x^{2}+x)}.\n
Técnica: expandir grau dominante ou calcular grau total. Grau do numerador: (2x^2)^2 = 4x^4. Denominador: (x-1)^2\sim x^2 e x^2+x\sim x^2, produto \sim x^4.\n
Cálculo:
\frac{(2x^{2}+1)^{2}}{(x-1)^{2}(x^{2}+x)}\sim\frac{4x^{4}}{x^{4}}=4.

Passo 9

4(h) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}+1}}.\n
Técnica: fatorar x^{4} dentro da raiz: \sqrt{x^{4}+1}=|x^{2}|\sqrt{1+1/x^{4}}. Para x\to\infty, |x^{2}|=x^{2}.\n
Cálculo:
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4}+1}}=\frac{x^{2}}{x^{2}\sqrt{1+1/x^{4}}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x^{4}}}\xrightarrow[x\to\infty]{}1.

Passo 10

4(i) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}.\n
Técnica: dentro da raiz fatorar x^{6}: \sqrt{9x^{6}-x}=|x^{3}|\sqrt{9-1/x^{5}}. Para x\to\infty, |x^{3}|=x^{3}.\n
Cálculo:
\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}=\frac{x^{3}\sqrt{9-1/x^{5}}}{x^{3}(1+1/x^{3})}=\frac{\sqrt{9-1/x^{5}}}{1+1/x^{3}}\xrightarrow[x\to\infty]{}\frac{3}{1}=3.

Passo 11

4(j) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}.\n
Técnica: mesma manipulação, mas para x\to-\infty temos |x^{3}|=-x^{3} porque x^{3} é negativo. Então \sqrt{9x^{6}-x}=|x^{3}|\sqrt{9-1/x^{5}}=-x^{3}\sqrt{9-1/x^{5}}.\n
Cálculo:
\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}=\frac{-x^{3}\sqrt{9-1/x^{5}}}{x^{3}(1+1/x^{3})}=\frac{-\sqrt{9-1/x^{5}}}{1+1/x^{3}}\xrightarrow[x\to-\infty]{}-3.

Passo 12

4(k) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\big).\n
Técnica: forma indeterminada \infty-\infty. Multiplico e divido pelo conjugado para eliminar a diferença.\n
Cálculo:
\sqrt{9x^{2}+x}-3x=\frac{9x^{2}+x-9x^{2}}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}=\frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}.
Dividindo numerador e denominador por x (assumindo x>0 grande),
\frac{1}{\sqrt{9+1/x}+3}\xrightarrow[x\to\infty]{}\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.

Passo 13

4(l) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\big(x+\sqrt{x^{2}+2x}\big).\n
Técnica: indeterminação do tipo -\infty + \infty; usar conjugado ou dividir por x. Vou usar conjugado: \
x+\sqrt{x^{2}+2x}=\frac{(x+\sqrt{x^{2}+2x})(x-\sqrt{x^{2}+2x})}{x-\sqrt{x^{2}+2x}}=\frac{x^{2}-(x^{2}+2x)}{x-\sqrt{x^{2}+2x}}=\frac{-2x}{x-\sqrt{x^{2}+2x}}.
Divida numerador e denominador por x (notando que x\to-\infty, x\neq 0):
\frac{-2}{1-\frac{\sqrt{x^{2}+2x}}{x}}.
Agora \displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}+2x}}{x}=\frac{|x|\sqrt{1+2/x}}{x}=-\sqrt{1+2/x}\xrightarrow[x\to-\infty]{}-1. Logo o denominador tende a 1-(-1)=2, e o limite é
\frac{-2}{2}=-1.

Passo 14

4(m) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(\sqrt{x^{2}+ax}-\sqrt{x^{2}+bx}\big) com a,b constantes.\n
Técnica: usar conjugado. Multiplicando por conjugado,
\sqrt{x^{2}+ax}-\sqrt{x^{2}+bx}=\frac{(x^{2}+ax)-(x^{2}+bx)}{\sqrt{x^{2}+ax}+\sqrt{x^{2}+bx}}=\frac{(a-b)x}{\sqrt{x^{2}+ax}+\sqrt{x^{2}+bx}}.
Divida numerador e denominador por x:
\frac{a-b}{\sqrt{1+a/x}+\sqrt{1+b/x}}\xrightarrow[x\to\infty]{}\frac{a-b}{1+1}=\frac{a-b}{2}.

Passo 15

4(n) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{x^{2}+1}.\n
Técnica: para x\to\infty, \sqrt{x^{2}+1}\sim x cresce sem limite.\n
Conclusão: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{x^{2}+1}=+\infty.

Passo 16

4(o) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}-3x^{2}+x}{x^{3}-x+2}.\n
Técnica: grau do numerador é 4 e do denominador é 3, então a função cresce como x para x\to\infty. Mais formalmente, dividir por x^{3} dá termo dominante x.\n
Conclusão: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}-3x^{2}+x}{x^{3}-x+2}=+\infty.

Passo 17

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\big(e^{-x}+2\cos 3x\big).\n
Técnica: e^{-x}\to 0 quando x\to\infty, mas \cos 3x oscila entre -1 e 1. O termo oscilatório não se anula com e^{-x} porque 2\cos 3x continua oscilando.\n
Conclusão: o limite não existe (a expressão oscila entre aproximadamente -2 e 2 conforme x varia, com uma pequena tendência de e^{-x} para 0). Portanto não há limite.

Passo 18

4(q) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x^{4}+x^{5}).\n
Técnica: fatorar x^{5}: x^{5}(1+1/x). Para x\to-\infty, x^{5}\to -\infty e 1+1/x\to 1.\n
Conclusão: \displaystyle \lim_{x\to-\infty}(x^{4}+x^{5})=-\infty.

Passo 19

\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1+x^{6}}{x^{4}+1}.\n
Técnica: para grandes |x| os termos de maior grau dominam: x^{6}/x^{4}=x^{2}.\n
Conclusão: como x^{2}\to+\infty quando x\to-\infty, o limite é +\infty.

Passo 20

4(s) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\operatorname{arctg}\big(e^{x}\big).\n
Técnica: e^{x}\to 0^{+} quando x\to-\infty. \operatorname{arctg} é contínua, então \operatorname{arctg}(e^{x})\to\operatorname{arctg}(0)=0.\n
Conclusão: limite 0.

Passo 21

4(t) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}}.\n
Técnica: dividir numerador e denominador por e^{3x}.\n
Cálculo:
\frac{1-e^{-6x}}{1+e^{-6x}}\xrightarrow[x\to\infty]{}\frac{1-0}{1+0}=1.

Passo 22

4(u) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1-e^{x}}{1+2e^{x}}.\n
Técnica: fatorar e^{x} ou dividir por e^{x}.\n
Cálculo:
\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+2}\xrightarrow[x\to\infty]{}\frac{0-1}{0+2}=-\frac{1}{2}.

Passo 23

4(v) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}+1}.\n
Técnica: \sin^{2}x é limitada entre 0 e 1, divisor cresce sem limite, então por comparação o quociente tende a 0.\n
Conclusão: limite 0.

Passo 24

5(a) \displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+|x-3|).\n
Técnica: verificar limites laterais. Para x>3: |x-3|=x-3, expressão =2x+(x-3)=3x-3 que em x\to3 6. Para x<3: |x-3|=3-x, expressão =2x+(3-x)=x+3 que em x\to3 6. Ambos os lados dão 6, logo o limite é 6.

Passo 25

5(b) \displaystyle \lim_{x\to 6}\frac{2x+12}{|x+6|}.\n
Técnica: no ponto x=6 temos x+6=12>0, então |x+6|=x+6 numa vizinhança de 6. Simplifica para \frac{2x+12}{x+6}=2.\n
Conclusão: limite 2.

Passo 26

5(c) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{2x-1}{|2x^{3}-x^{2}|}.\n
Técnica: fatorar o denominador: 2x^{3}-x^{2}=x^{2}(2x-1). Para 0<x<1/2, 2x-1<0 então 2x^{3}-x^{2}<0 e |2x^{3}-x^{2}|=-x^{2}(2x-1)=x^{2}(1-2x).\n
Cálculo:
\frac{2x-1}{|2x^{3}-x^{2}|}=\frac{2x-1}{x^{2}(1-2x)}.
Para x\to0^{+}, o numerador tende a -1 e o denominador tende a 0^{+} (pois x^{2}>0 e 1-2x\to1>0). Logo a fração tende a -\infty.\n
Conclusão: limite é -\infty.

Passo 27

5(d) \displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{5+\sqrt{x}}{\sqrt{5+x}}.\n
Técnica: funções envolvidas são contínuas em x=4 (raízes definidas), então basta substituir.\n
Cálculo:
\frac{5+\sqrt{4}}{\sqrt{5+4}}=\frac{5+2}{\sqrt{9}}=\frac{7}{3}.

Passo 28

5(e) \displaystyle \lim_{x\to \pi}\sin(x+\sin x).\n
Técnica: continuidade de \sin. Substituo x=\pi: \sin\pi=0 então \sin(\pi+0)=0.\n
Conclusão: limite 0.

Passo 29

5(f) \displaystyle \lim_{x\to 1}e^{x^{2}-x}.\n
Técnica: exponencial é contínua. Substituindo x=1 obtemos e^{0}=1.\n
Conclusão: limite 1.

Passo 30

5(g) \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{2-|x|}{2+x}.\n
Técnica: perto de x=2, x>0 então |x|=x. A expressão torna-se \frac{2-x}{2+x} que em x=2 vale 0/(4)=0.\n
Conclusão: limite 0.

Passo 31

5(h) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\Big).\n
Técnica: para x>0 temos |x|=x, então \frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}=0 para todos x>0. Portanto o limite lateral direito é 0.\n
Conclusão: limite (à direita) 0.

Passo 32

5(i) (repetição de 5(h)) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\Big).\n
Mesma análise que em 5(h): resultado 0.

Passo 33

5(j) \displaystyle \lim_{x\to 2}\arctan\!\Big(\frac{x^{2}-4}{3x^{2}-6x}\Big).\n
Técnica: simplificar a expressão interna. Observe x^{2}-4=(x-2)(x+2) e 3x^{2}-6x=3x(x-2). Para x\neq 2 a razão se simplifica:\n
\frac{x^{2}-4}{3x^{2}-6x}=\frac{x+2}{3x}.
Agora tomar limite x\to 2:
\frac{x+2}{3x}\xrightarrow[x\to2]{}\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Como \arctan é contínua,
\arctan\!\Big(\frac{2}{3}\Big).

Passo 34

5(k) \displaystyle \lim_{x\to 0}\big(x^{2}\cos 20\pi x\big).\n
Técnica: x^{2}\to 0 e \cos é limitada ( |\cos|\le 1). Pelo teorema do confronto, produto tende a 0.\n
Conclusão: limite 0.

Passo 35

5(l) \displaystyle \lim_{x\to 0}\sqrt{x^{3}+x^{2}}\sin\frac{\pi}{x}.\n
Técnica: usar desigualdade e comportamento da raiz. Para x próximo de 0 (positivo ou negativo), x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1) e para x suficientemente pequeno |x+1| é limitada e positiva, logo \sqrt{x^{3}+x^{2}} tem magnitude comparável a |x|. Especificamente, existe constante C tal que |\sqrt{x^{3}+x^{2}}|\le C|x| para x próximo de 0. Como \left|\sin\frac{\pi}{x}\right|\le 1, temos
\left|\sqrt{x^{3}+x^{2}}\sin\frac{\pi}{x}\right|\le C|x|\xrightarrow[x\to 0]{}0.
Pelo teorema do confronto o limite é 0.

Resposta

4(a) \,0\n
4(b) \,3\n
4(c) -\tfrac{1}{2}\n
4(d) -\tfrac{3}{5}\n
4(e) -1\n
4(f) -\tfrac{1}{2}\n
4(g) \,4\n
4(h) \,1\n
4(i) \,3\n
4(j) -3\n
4(k) \,\tfrac{1}{6}\n
4(l) -1\n
4(m) \,\tfrac{a-b}{2}\n
4(n) +\infty\n
4(o) +\infty\n
4§ não existe\n
4(q) -\infty\n
+\infty\n
4(s) \,0\n
4(t) \,1\n
4(u) -\tfrac{1}{2}\n
4(v) \,0\n
5(a) \,6\n
5(b) \,2\n
5(c) -\infty\n
5(d) \,\tfrac{7}{3}\n
5(e) \,0\n
5(f) \,1\n
5(g) \,0\n
5(h) \,0\n
5(i) \,0\n
5(j) \,\arctan\!\big(\tfrac{2}{3}\big)\n
5(k) \,0\n
5(l) \,0

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