Faça o que se pede nos seguintes itens:
Obter a solução geral da equação diferencial
Obter a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
com
e
.
Informações dadas:
é constante positiva,
é constante não nula, a variável independente é
.
O objetivo é encontrar a família de todas as soluções da equação (solução geral), que normalmente se escreve como soma da solução homogênea e de uma solução particular.
Informações dadas:
O objetivo é encontrar a família de todas as soluções
Passo 2
Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero):
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
(essa substituição transforma derivadas em potências de
) e obtemos a equação característica
Resolvendo essa equação polinomial fatoramos:
logo as raízes são
e
. Essas raízes são real e distintas, portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Observação didática: a raiz
gera a solução constante
.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
O lado direito é um polinômio em
de grau
. O método dos coeficientes a determinar diz: suponha
como um polinômio de grau igual ao do lado direito, exceto quando há ressonância. Ressonância ocorre se
com
igual à raiz
(ou outra raiz) aparecer entre as soluções homogêneas; aqui
é raiz da característica (multiplicidade
). Como
é raiz simples, devemos multiplicar o ansatz polinomial por
. Portanto, em vez de tentar
, tentamos
Explicação curta: multiplicamos por
porque o termo constante (polinômio de grau 0) estaria “colidindo” com a solução homogênea
. Esse procedimento garante independência linear.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
:
Estas fórmulas vêm das regras básicas de derivação de polinômios:
.
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Expandindo:
Queremos que isso seja igual a
para todo
. Ou seja,
Como duas polinômios são iguais para todo
se e somente se os coeficientes correspondentes são iguais, igualamos os coeficientes de
e os termos constantes:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Substituindo o valor de
em
:
Passo 6
Agora escrevemos a solução particular encontrada:
Podemos verificar rapidamente (mentally) que as ordens em
batem: o termo
e
em
geram, após as operações
, apenas termos até ordem
, e os coeficientes foram escolhidos para reproduzir exatamente
.
Passo 7
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
Essa é a família completa de soluções, com
constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais caso existam.