Faça o que se pede nos seguintes itens:
Obter a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}-\alpha y^{\prime}=a t ; \operatorname{com} \alpha>0 \text { e } a \neq 0

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
y''-\alpha y' = a t
com \alpha>0 e a\neq 0.
Informações dadas:
\alpha é constante positiva, a é constante não nula, a variável independente é t.
O objetivo é encontrar a família de todas as soluções y(t) da equação (solução geral), que normalmente se escreve como soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero):
y''-\alpha y'=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rt} (essa substituição transforma derivadas em potências de r) e obtemos a equação característica
r^{2}-\alpha r=0.
Resolvendo essa equação polinomial fatoramos:
r(r-\alpha)=0,
logo as raízes são r=0 e r=\alpha. Essas raízes são real e distintas, portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{0\cdot t}+C_{2}e^{\alpha t}=C_{1}+C_{2}e^{\alpha t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Observação didática: a raiz r=0 gera a solução constante e^{0t}=1.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa
y''-\alpha y' = a t.
O lado direito é um polinômio em t de grau 1. O método dos coeficientes a determinar diz: suponha y_{p} como um polinômio de grau igual ao do lado direito, exceto quando há ressonância. Ressonância ocorre se e^{rt} com r igual à raiz 0 (ou outra raiz) aparecer entre as soluções homogêneas; aqui r=0 é raiz da característica (multiplicidade 1). Como r=0 é raiz simples, devemos multiplicar o ansatz polinomial por t^{1}. Portanto, em vez de tentar At+B, tentamos
y_{p}(t)=t\cdot (Bt+C)=Bt^{2}+Ct.
Explicação curta: multiplicamos por t porque o termo constante (polinômio de grau 0) estaria “colidindo” com a solução homogênea C_{1}. Esse procedimento garante independência linear.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p}:
y_{p}(t)=Bt^{2}+Ct,
y_{p}'(t)=2Bt+C,
y_{p}''(t)=2B.
Estas fórmulas vêm das regras básicas de derivação de polinômios: \frac{d}{dt}(t^{n})=n t^{n-1}.

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial:
y_{p}''-\alpha y_{p}' = 2B - \alpha(2Bt + C).
Expandindo:
2B - 2\alpha B t - \alpha C.
Queremos que isso seja igual a a t para todo t. Ou seja,
-2\alpha B\, t + (2B - \alpha C) = a t + 0.
Como duas polinômios são iguais para todo t se e somente se os coeficientes correspondentes são iguais, igualamos os coeficientes de t e os termos constantes:
Coeficiente de t:
-2\alpha B = a \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{a}{2\alpha}.
Termo constante:
2B - \alpha C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = \frac{2B}{\alpha}.
Substituindo o valor de B em C:
C = \frac{2}{\alpha}\left(-\frac{a}{2\alpha}\right) = -\frac{a}{\alpha^{2}}.

Passo 6

Agora escrevemos a solução particular encontrada:
y_{p}(t)=Bt^{2}+Ct = -\frac{a}{2\alpha}t^{2}-\frac{a}{\alpha^{2}}t.
Podemos verificar rapidamente (mentally) que as ordens em t batem: o termo t^{2} e t em y_{p} geram, após as operações y''-\alpha y', apenas termos até ordem t, e os coeficientes foram escolhidos para reproduzir exatamente a t.

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}+C_{2}e^{\alpha t}-\frac{a}{2\alpha}t^{2}-\frac{a}{\alpha^{2}}t.
Essa é a família completa de soluções, com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais caso existam.

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}e^{\alpha t}-\frac{a}{2\alpha}t^{2}-\frac{a}{\alpha^{2}}t

Exercícios relacionados