Faça o que se pede nos seguintes itens:
Obter a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}-\alpha y=e^{\alpha t} a t ; \operatorname{com} \alpha>0 \text { e } a \neq 0

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
y'' - \alpha y = e^{\alpha t}\, a t,
com \alpha>0 e a\neq 0.
Informações dadas:
\alpha é um parâmetro positivo ( \alpha>0).
a é um parâmetro não nulo ( a\neq 0).
A equação é linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes.
O termo fonte (lado direito) é a t e^{\alpha t}, i.e., um polinômio (grau 1) multiplicado por uma exponencial e^{\alpha t}.
O que precisamos devolver: a solução geral y(t) (combinação da solução homogênea e de uma solução particular), explicitando os coeficientes em função de \alpha e a. Não foi especificado um valor concreto de \alpha, portanto devemos tratar o caso geral e qualquer caso especial que gere ressonância.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática, sem pular etapas):
  • Para equações lineares com coeficientes constantes e termo não-homogêneo que é produto de polinômio por exponencial, o método mais prático é o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Ele consiste em propor uma forma para a solução particular baseada no tipo do termo não-homogêneo e ajustar coeficientes para satisfazer a equação.
  • Importante: se a parte exponencial do termo não-homogêneo coincidir com uma raiz do polinômio característico da equação homogênea (resonância), multiplicamos a tentativa por t^s, onde s é a multiplicidade dessa raiz na equação característica.
  • Aqui, o termo exponencial é e^{\alpha t}. A equação característica da homogênea será r^2-\alpha=0, com raízes r=\pm\sqrt{\alpha}. Logo, só há ressonância quando \alpha=\sqrt{\alpha}, que (resolvendo \alpha=\sqrt{\alpha}) dá \alpha=1 (lembrando que \alpha>0). Portanto há dois casos a tratar:
    1. \alpha \neq 1 (sem ressonância) — tentativa simples.
    2. \alpha = 1 (resonância) — precisamos multiplicar a tentativa por t.

Passo 3

Solução da equação homogênea (a parte que todo mundo precisa aprender bem):
A homogênea associada é
y'' - \alpha y = 0.
Formamos a equação característica \;r^2 - \alpha = 0\;, cujas raízes são
r = \pm \sqrt{\alpha}.
Como \alpha>0, as raízes são reais distintas. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{\sqrt{\alpha}\,t} + C_2 e^{-\sqrt{\alpha}\,t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se existissem).

Passo 4

Caso \alpha \neq 1 (sem ressonância): escolha da tentativa para a solução particular e razão.
  • O termo não-homogêneo é a t e^{\alpha t}: polinômio de grau 1 vezes e^{\alpha t}.
  • Quando não há ressonância, tentamos uma solução particular da forma
y_p(t)=e^{\alpha t}\,(A t + B),
com A,B constantes a determinar.
Agora calculamos as derivadas para substituir na equação. Para organizar, defina u(t)=A t + B. Então
y_p = e^{\alpha t} u(t).
Derivando (mostro passo a passo):
y_p' = \alpha e^{\alpha t} u + e^{\alpha t} u' = e^{\alpha t}(\alpha u + u'),
y_p'' = \alpha e^{\alpha t}(\alpha u + u') + e^{\alpha t}(\alpha u' + u'') = e^{\alpha t}(\alpha^2 u + 2\alpha u' + u'').
Agora substituímos na equação y'' - \alpha y = a t e^{\alpha t}. Cancelando o fator e^{\alpha t} (que nunca é zero) obtemos a equação para u:
(\alpha^2-\alpha)u + 2\alpha u' + u'' = a t.
Como u(t)=A t + B, temos u' = A e u''=0. Substituindo:
(\alpha^2-\alpha)(A t + B) + 2\alpha A = a t.
Agrupando termos em t e constantes:
  • Coeficiente de t: (\alpha^2-\alpha)A = a.
  • Termo constante: (\alpha^2-\alpha)B + 2\alpha A = 0.
Resolvendo para A e B:
A = \frac{a}{\alpha^2-\alpha} = \frac{a}{\alpha(\alpha-1)}.
E
B = -\frac{2\alpha A}{\alpha^2-\alpha} = -\frac{2\alpha A}{\alpha(\alpha-1)} = -\frac{2A}{\alpha-1}.
Substituindo A:
B = -\frac{2}{\alpha-1}\cdot\frac{a}{\alpha(\alpha-1)} = -\frac{2a}{\alpha(\alpha-1)^2}.
Portanto, para \alpha\neq 1 a solução particular é
y_p(t)=e^{\alpha t}\!\left(\frac{a}{\alpha(\alpha-1)}\,t - \frac{2a}{\alpha(\alpha-1)^2}\right).

Passo 5

Combinando homogênea e particular no caso \alpha\neq 1:
A solução geral é
y(t)=C_1 e^{\sqrt{\alpha}\,t} + C_2 e^{-\sqrt{\alpha}\,t} + e^{\alpha t}\!\left(\frac{a}{\alpha(\alpha-1)}\,t - \frac{2a}{\alpha(\alpha-1)^2}\right).

Passo 6

Caso \alpha = 1 (resonância): escolha da tentativa e cálculo.
  • Quando \alpha=1 temos raiz r=1 da equação característica (pois \sqrt{\alpha}=1), e o termo não-homogêneo envolve e^{t}. Há ressonância de ordem 1, então multiplicamos a tentativa por t.
  • O polinômio é de grau 1, então sem ressonância a tentativa seria e^{t}(A t + B); com ressonância multiplicamos por t, obtendo
y_p(t)=e^{t}\,t\,(A t + B)=e^{t}(A t^2 + B t).
Novamente defina u(t)=A t^2 + B t. Calculamos u' = 2A t + B e u'' = 2A.
Para \alpha=1 a fórmula geral que usamos antes reduz a:
2 u' + u'' = a t,
porque ao substituir \alpha=1 obtemos (\alpha^2-\alpha)=0 e 2\alpha=2, levando a 2u' + u'' = a t.
Substituindo u' e u'':
2(2A t + B) + 2A = a t.
Isto dá
4A t + (2B + 2A) = a t.
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de t: 4A = a \Rightarrow A = \dfrac{a}{4}.
  • Constante: 2B + 2A = 0 \Rightarrow B = -A = -\dfrac{a}{4}.
Assim a solução particular é
y_p(t) = e^{t}\!\left(\frac{a}{4} t^2 - \frac{a}{4} t\right) = \frac{a}{4} e^{t} (t^2 - t).

Passo 7

Solução geral para \alpha = 1:
A homogênea, como visto, é
y_h(t)=C_1 e^{t} + C_2 e^{-t}.
Somando a particular, a solução geral é
y(t)=C_1 e^{t} + C_2 e^{-t} + \frac{a}{4} e^{t}(t^2 - t).

Resposta

Para \alpha \neq 1:
y(t)=C_1 e^{\sqrt{\alpha}\,t} + C_2 e^{-\sqrt{\alpha}\,t} + e^{\alpha t}\!\left(\frac{a}{\alpha(\alpha-1)}\,t - \frac{2a}{\alpha(\alpha-1)^2}\right).
Para \alpha = 1:
y(t)=C_1 e^{t} + C_2 e^{-t} + \frac{a}{4} e^{t}(t^2 - t).

Exercícios relacionados