Faça o que se pede nos seguintes itens:
Obter a solução geral da equação diferencial
Obter a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
com
e
.
Informações dadas:
é um parâmetro positivo (
).
é um parâmetro não nulo (
).
A equação é linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes.
O termo fonte (lado direito) é , i.e., um polinômio (grau 1) multiplicado por uma exponencial
.
A equação é linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes.
O termo fonte (lado direito) é
O que precisamos devolver: a solução geral
(combinação da solução homogênea e de uma solução particular), explicitando os coeficientes em função de
e
. Não foi especificado um valor concreto de
, portanto devemos tratar o caso geral e qualquer caso especial que gere ressonância.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática, sem pular etapas):
- Para equações lineares com coeficientes constantes e termo não-homogêneo que é produto de polinômio por exponencial, o método mais prático é o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Ele consiste em propor uma forma para a solução particular baseada no tipo do termo não-homogêneo e ajustar coeficientes para satisfazer a equação.
- Importante: se a parte exponencial do termo não-homogêneo coincidir com uma raiz do polinômio característico da equação homogênea (resonância), multiplicamos a tentativa por
, onde é a multiplicidade dessa raiz na equação característica. - Aqui, o termo exponencial é
. A equação característica da homogênea será , com raízes . Logo, só há ressonância quando , que (resolvendo ) dá (lembrando que ). Portanto há dois casos a tratar: -
(sem ressonância) — tentativa simples. -
(resonância) — precisamos multiplicar a tentativa por .
-
Passo 3
Solução da equação homogênea (a parte que todo mundo precisa aprender bem):
A homogênea associada é
A homogênea associada é
Formamos a equação característica
, cujas raízes são
Como
, as raízes são reais distintas. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se existissem).
Passo 4
Caso
(sem ressonância): escolha da tentativa para a solução particular e razão.
- O termo não-homogêneo é
: polinômio de grau vezes . - Quando não há ressonância, tentamos uma solução particular da forma
com
constantes a determinar.
Agora calculamos as derivadas para substituir na equação. Para organizar, defina
. Então
Derivando (mostro passo a passo):
Agora substituímos na equação
. Cancelando o fator
(que nunca é zero) obtemos a equação para
:
Como
, temos
e
. Substituindo:
Agrupando termos em
e constantes:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolvendo para
e
:
E
Substituindo
:
Portanto, para
a solução particular é
Passo 5
Combinando homogênea e particular no caso
:
A solução geral é
A solução geral é
Passo 6
Caso
(resonância): escolha da tentativa e cálculo.
- Quando
temos raiz da equação característica (pois ), e o termo não-homogêneo envolve . Há ressonância de ordem , então multiplicamos a tentativa por . - O polinômio é de grau
, então sem ressonância a tentativa seria ; com ressonância multiplicamos por , obtendo
Novamente defina
. Calculamos
e
.
Para a fórmula geral que usamos antes reduz a:
Para
porque ao substituir
obtemos
e
, levando a
.
Substituindo
e
:
Isto dá
Comparando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Constante:
.
Assim a solução particular é
Passo 7
Solução geral para
:
A homogênea, como visto, é
A homogênea, como visto, é
Somando a particular, a solução geral é
Resposta
Para
:
Para
: