Faça a representação bidimensional de uma célula unitária tridimensional cúbica de face centrada, informe o posicionamento dos pontos projetados.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Fazer a representação bidimensional (projeção) de uma célula unitária tridimensional cúbica de face centrada.
  • Informar o posicionamento dos pontos projetados (ou seja, as coordenadas 2D onde aparecem as imagens dos átomos/lattice points).
Informações dadas/assumidas (claras e úteis para a projeção):
  • A célula é cúbica de aresta a.
  • Em uma célula convencional de face centrada existem pontos de rede nos oito cantos e nos seis centros das faces (total explícito dentro da célula convencional).
  • A projeção pedida não especifica direção; será escolhido um direcionamento de projeção prático e padrão para a visualização bidimensional.

Passo 2

Escolha da projeção (explicação simples e por que):
  • Vou usar a projeção ortográfica ao longo do eixo z sobre o plano xy (isto é, projeção na direção [0,0,1], com vista “de cima” ou vista (001)).
  • Razão: é a escolha mais simples e mais usada para mostrar uma célula cúbica em 2D; projeta (x,y,z) em (x,y) (ou seja, basta “ignorar” a coordenada z). Essa projeção revela claramente a posição relativa dos pontos no plano da base da célula.

Passo 3

Coordenadas 3D dos pontos da célula convencional (usando coordenadas fracionárias multiplicadas por a):
  • Cantos (oito): (0,0,0),\\ (1,0,0),\\ (0,1,0),\\ (0,0,1),\\ (1,1,0),\\ (1,0,1),\\ (0,1,1),\\ (1,1,1)
  • Centros das seis faces (seis): \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right),\\ \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1\right),\\ \left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right),\\ \left(\tfrac{1}{2},1,\tfrac{1}{2}\right),\\ \left(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right),\\ \left(1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)
  • Observação: todas as coordenadas acima estão em unidades de a (por exemplo \left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right) significa \left(\tfrac{a}{2},0,\tfrac{a}{2}\right) no sistema com dimensão física).

Passo 4

Regra de projeção e cálculo das imagens 2D:
  • A projeção ortográfica ao longo de z é a transformação
    (x,y,z) \mapsto (x,y).
  • Aplicando isso às coordenadas listadas no Passo 3, obtemos (em unidades de a) os seguintes pontos 2D (duplicatas surgem quando diferentes 3D têm o mesmo (x,y)):
    Cantos projetados:
    (0,0),\\ (1,0),\\ (0,1),\\ (1,1).
    Observação: cada um desses quatro pontos recebe projeção de duas vértices distintos da célula (por exemplo (0,0,0) e (0,0,1) projetam ambos em (0,0)).
    Centros de face projetados:
    \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right),\\ \left(\tfrac{1}{2},0\right),\\ \left(\tfrac{1}{2},1\right),\\ \left(0,\tfrac{1}{2}\right),\\ \left(1,\tfrac{1}{2}\right).
    Observações sobre multiplicidade dentro da célula convencional:
    • \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) recebe projeção de duas faces ( \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right) e \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},1\right)).
    • Cada um dos pontos \left(\tfrac{1}{2},0\right),\\ \left(\tfrac{1}{2},1\right),\\ \left(0,\tfrac{1}{2}\right),\\ \left(1,\tfrac{1}{2}\right) vem da projeção de exatamente um dos centros de face listados dentro da célula convencional (por exemplo \left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right)\mapsto\left(\tfrac{1}{2},0\right)).

Passo 5

Conjunto final de posições únicas em 2D dentro do quadrado [0,1]\times[0,1] (em unidades de a):
  • Os nove pontos formam uma grade 3×3 (como um “jogo-da-velha”), posição e significado: (0,0),\\ \left(\tfrac{1}{2},0\right),\\ (1,0),
\left(0,\tfrac{1}{2}\right),\\ \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right),\\ \left(1,\tfrac{1}{2}\right),
(0,1),\\ \left(\tfrac{1}{2},1\right),\\ (1,1).
  • Como desenhar (dicas práticas para a prova, sem calculadora):
    • Desenhe um quadrado de lado a (ou, para facilitar, de lado unitário e depois multiplique por a).
    • Marque os pontos em coordenadas 0,\\ \tfrac{1}{2}a,\\ a ao longo de cada eixo e trace a grade 3×3.
    • Use símbolos diferentes para indicar origem em planos diferentes (por exemplo: pontos preenchidos para átomos com z=\tfrac{1}{2}a, círculos vazios para os que vêm de z=0 e z=a) — isso ajuda a visualizar que alguns pontos são soma de projeções (multiplicidade).

Passo 6

Interpretação física rápida (ajuda a memorizar):
  • A projeção (001) da fcc mostra uma rede quadrada com pontos nos vértices e no centro de cada aresta e também no centro da célula projetada — isso reflete que as faces superior e inferior têm centros projetando no centro do quadrado e que vértices superiores e inferiores projetam para os mesmos pontos de canto.
  • Se fosse pedida outra vista (por exemplo projeção ao longo de [1,1,1]), o padrão projetado muda (fica hexagonal), mas para a prova a projeção (001) é a mais direta e frequentemente exigida.

Resposta

(0,0)
\left(\tfrac{1}{2},0\right)
(1,0)
\left(0,\tfrac{1}{2}\right)
\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)
\left(1,\tfrac{1}{2}\right)
(0,1)
\left(\tfrac{1}{2},1\right)
(1,1)

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