Faça a representação bidimensional de uma célula unitária tridimensional cúbica de face centrada, informe o posicionamento dos pontos projetados.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Fazer a representação bidimensional (projeção) de uma célula unitária tridimensional cúbica de face centrada.
- Informar o posicionamento dos pontos projetados (ou seja, as coordenadas 2D onde aparecem as imagens dos átomos/lattice points).
Informações dadas/assumidas (claras e úteis para a projeção):
- A célula é cúbica de aresta
. - Em uma célula convencional de face centrada existem pontos de rede nos oito cantos e nos seis centros das faces (total explícito dentro da célula convencional).
- A projeção pedida não especifica direção; será escolhido um direcionamento de projeção prático e padrão para a visualização bidimensional.
Passo 2
Escolha da projeção (explicação simples e por que):
- Vou usar a projeção ortográfica ao longo do eixo
sobre o plano (isto é, projeção na direção , com vista “de cima” ou vista ). - Razão: é a escolha mais simples e mais usada para mostrar uma célula cúbica em 2D; projeta
em (ou seja, basta “ignorar” a coordenada ). Essa projeção revela claramente a posição relativa dos pontos no plano da base da célula.
Passo 3
Coordenadas 3D dos pontos da célula convencional (usando coordenadas fracionárias multiplicadas por
):
- Cantos (oito):
- Centros das seis faces (seis):
- Observação: todas as coordenadas acima estão em unidades de
(por exemplo significa no sistema com dimensão física).
Passo 4
Regra de projeção e cálculo das imagens 2D:
-
A projeção ortográfica ao longo de
é a transformação -
Aplicando isso às coordenadas listadas no Passo 3, obtemos (em unidades de
) os seguintes pontos 2D (duplicatas surgem quando diferentes 3D têm o mesmo ): Cantos projetados:Observação: cada um desses quatro pontos recebe projeção de duas vértices distintos da célula (por exemploe projetam ambos em ). Centros de face projetados:Observações sobre multiplicidade dentro da célula convencional:-
recebe projeção de duas faces ( e ). - Cada um dos pontos
vem da projeção de exatamente um dos centros de face listados dentro da célula convencional (por exemplo ).
-
Passo 5
Conjunto final de posições únicas em 2D dentro do quadrado
(em unidades de
):
- Os nove pontos formam uma grade 3×3 (como um “jogo-da-velha”), posição e significado:
- Como desenhar (dicas práticas para a prova, sem calculadora):
- Desenhe um quadrado de lado
(ou, para facilitar, de lado unitário e depois multiplique por ). - Marque os pontos em coordenadas
ao longo de cada eixo e trace a grade 3×3. - Use símbolos diferentes para indicar origem em planos diferentes (por exemplo: pontos preenchidos para átomos com
, círculos vazios para os que vêm de e ) — isso ajuda a visualizar que alguns pontos são soma de projeções (multiplicidade).
- Desenhe um quadrado de lado
Passo 6
Interpretação física rápida (ajuda a memorizar):
- A projeção (001) da fcc mostra uma rede quadrada com pontos nos vértices e no centro de cada aresta e também no centro da célula projetada — isso reflete que as faces superior e inferior têm centros projetando no centro do quadrado e que vértices superiores e inferiores projetam para os mesmos pontos de canto.
- Se fosse pedida outra vista (por exemplo projeção ao longo de
), o padrão projetado muda (fica hexagonal), mas para a prova a projeção é a mais direta e frequentemente exigida.