As faces de uma folha de papel de dimensões (25 times 10 times 0,10) cm^3, contendo inicialmente 0,25 kg de água/kg de papel seco (ou 25 % em base seca), foram submetidas a secagem durante 25 min . Sabendo que a umidade média adimensional, em base seca, após esse período é 0,04 e que BiM=0,50 então estime o valor do coeficiente efetivo de difusão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu um problema sobre a secagem de uma folha de papel. A gente precisa encontrar o coeficiente efetivo de difusão ( Deff) usando algumas informações sobre as dimensões da folha, a umidade inicial e final, o tempo de secagem e o número de Biot para a umidade ( BiM). Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de massa, especificamente a equação de difusão. Vamos precisar entender como a umidade muda no papel durante a secagem e aplicar as fórmulas corretas para achar Deff.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Dimensões da folha: 25 times 10 times 0,10 , cm^3
  • Umidade inicial: 0,25 , kg água/kg papel secoá (ou 25% em base seca)
  • Tempo de secagem: 25 minutos
  • Umidade final: 0,04 em base seca
  • Número de Biot para a umidade: BiM = 0,50

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a espessura da folha, que será nosso comprimento característico ( Lc) para o cálculo do número de Biot. A espessura é 0,10 , cm, ou seja, Lc = 0,10 , cm = 0,001 , m.

Passo 4

O número de Biot é dado por:
BiM = hm LcDeff
Onde:
  • hm é o coeficiente de transferência de massa na superfície,
  • Lc é o comprimento característico,
  • Deff é o coeficiente efetivo de difusão que queremos encontrar.
Então, podemos rearrumar a fórmula para isolar Deff:
Deff = hm LcBiM

Passo 5

Agora, precisamos encontrar hm, o coeficiente de transferência de massa. Para isso, utilizamos a equação de secagem olhando para a mudança da umidade com o tempo. A equação básica de secagem pode ser escrita como:
dXdt = - hm AV (X - Xfinal)
Onde:
  • X é a umidade no tempo t,
  • A é a área de secagem,
  • V é o volume.
Mas, como a umidade final é constante e a equação pode ser integrada, acabamos relacionando o tempo de secagem com os parâmetros hm e Deff.

Passo 6

Considerando uma condição de estado estacionário e que a transferência de massa é dominada pela difusão, a relação entre tempo ( t), comprimento característico ( Lc) e coeficiente de difusão ( Deff) é dada por:
t = Lc^2pi^2 Deff
Isolando Deff:
Deff = Lc^2pi^2 t

Passo 7

Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula. Lembre-se de converter o tempo de minutos para segundos para manter as unidades consistentes:
t = 25 , min = 1500 , s
E Lc = 0,001 , m. Portanto:
Deff = (0,001)^2pi^2 times 1500 approx 0,00000114841,6 approx 6,74 times 10^-8 , m^2/s

Resposta

O coeficiente efetivo de difusão Deff é aproximadamente 6,74 times 10^-8 , m^2/s.

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