(Fafeod-MG) Duas cargas elétricas positivas, de valor q, estão colocadas nos pontos A e B, cujas respectivas coordenadas, em metros, são (3,0) e (-3,0). Qual é o módulo e a direção do campo elétrico no ponto P, situado a (0,3 \sqrt{3}) ?

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas positivas de valor q nos pontos A=(3,0) e B=(-3,0) e pede o campo elétrico resultante em P=(0,3\sqrt{3}). Vamos usar o princípio da superposição, calculando \vec{E}_A e \vec{E}_B em P e depois somando vetorialmente.

Passo 2

Calculamos os vetores posição de cada carga até P:
\vec{r}_{AP} = \bigl(0-3,\;3\sqrt{3}-0\bigr)=(-3,\;3\sqrt{3}),\quad \vec{r}_{BP} = \bigl(0+3,\;3\sqrt{3}-0\bigr)=(3,\;3\sqrt{3}).
O módulo de cada um é
r = \|\vec{r}_{AP}\| = \|\vec{r}_{BP}\| =\sqrt{(-3)^2+(3\sqrt{3})^2} =\sqrt{9+27} =6.

Passo 3

O campo de uma carga pontual é
\vec{E} = k\,\frac{q}{r^2}\,\hat{u},
onde k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} e \hat{u}=\vec{r}/r. Assim, o módulo comum é
E_0 = k\,\frac{q}{6^2} = k\,\frac{q}{36}.
Os versores são
\hat{u}_{AP} = \frac{1}{6}(-3,\;3\sqrt{3}) = \Bigl(-\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr), \quad \hat{u}_{BP} = \frac{1}{6}(3,\;3\sqrt{3}) = \Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Passo 4

Portanto
\vec{E}_A = E_0\,\hat{u}_{AP} = \Bigl(-\tfrac{E_0}{2},\;\tfrac{\sqrt3\,E_0}{2}\Bigr), \quad \vec{E}_B = E_0\,\hat{u}_{BP} = \Bigl(\tfrac{E_0}{2},\;\tfrac{\sqrt3\,E_0}{2}\Bigr).
Somando as componentes:
E_x = -\tfrac{E_0}{2} + \tfrac{E_0}{2} = 0, \quad E_y = \tfrac{\sqrt3\,E_0}{2} + \tfrac{\sqrt3\,E_0}{2} = \sqrt3\,E_0.

Passo 5

O vetor resultante é
\vec{E} = \bigl(0,\;\sqrt3\,E_0\bigr)
com módulo
E = \sqrt3\,E_0 = \sqrt3\;\bigl(k\,\tfrac{q}{36}\bigr) = k\,\frac{q\,\sqrt3}{36}.
E aponta no sentido positivo do eixo y.

Resposta

O módulo do campo é
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\,\sqrt3}{36},
e sua direção é vertical para cima (eixo y positivo).

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