No vácuo, longe da ação de outras cargas elétricas, são fixadas duas partículas eletrizadas, \mathrm{Q}_{1} e \mathrm{Q}_{2}, a 20 cm uma da outra. Sabendo que as cargas das partículas são \mathrm{Q}_{1}=- 9,0 \mathrm{nC} e \mathrm{Q}_{2}=-4,0 \mathrm{nC}, determine:
a) a intensidade do vetor campo resultante E , num ponto colocado a meio caminho entre as cargas;
b) a força a que uma carga de +2,0 \mu \mathrm{C} ficaria sujeita, se fosse colocada no ponto referido no item anterior;
c) o ponto, entre as cargas, onde uma partícula eletrizada com carga q qualquer ficaria em repouso, se lá fosse colocada.

Passo 1

Temos duas cargas puntiformes fixas em vácuo, separadas por d=0{,}20\\ \mathrm{m}: \mathrm{Q}_1=-9{,}0\,\mathrm{nC} em x=0 e \mathrm{Q}_2=-4{,}0\,\mathrm{nC} em x=d.
Conteúdo: campo elétrico de cargas puntuais e superposição vetorial; força elétrica \vec{F}=q\,\vec{E}; posição de equilíbrio onde \vec{E}=0.

Passo 2

Calcular o campo de cada carga no ponto médio x=d/2=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Distâncias até o ponto: r_1=0{,}10\\ \mathrm{m}, r_2=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Constante eletrostática:
k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Módulos:
E_1 = \frac{k\,|\mathrm{Q}_1|}{r_1^2} = \frac{8{,}99\times10^9\cdot9{,}0\times10^{-9}}{(0{,}10)^2} \approx8{,}09\times10^3\\ \mathrm{N/C},
E_2 = \frac{k\,|\mathrm{Q}_2|}{r_2^2} = \frac{8{,}99\times10^9\cdot4{,}0\times10^{-9}}{(0{,}10)^2} \approx3{,}596\times10^3\\ \mathrm{N/C}.

Passo 3

Determinar a direção de cada campo no ponto médio (eixo x positivo à direita):
\mathrm{Q}_1<0 atrai cargas positivas para x=0, logo \vec{E}_1 aponta para a esquerda -\hat{\mathbf{i}}.
\mathrm{Q}_2<0 atrai para x=d, logo \vec{E}_2 aponta para a direita +\hat{\mathbf{i}}.
Soma vetorial:
\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = -E_1\,\hat{\mathbf{i}} + E_2\,\hat{\mathbf{i}} = \bigl(E_2 - E_1\bigr)\,\hat{\mathbf{i}} = (3{,}596 - 8{,}09)\times10^3\,\hat{\mathbf{i}} \approx -4{,}494\times10^3\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 4

Força sobre q=+2{,}0\,\mu\mathrm{C}=2{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C} em \vec{E}:
\vec{F} = q\,\vec{E} = 2{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C}\times(-4{,}494\times10^3\,\hat{\mathbf{i}}) \approx -8,99\times10^{-3}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Ponto de equilíbrio entre as cargas (onde \vec{E}=0): seja x a distância de \mathrm{Q}_1. Para 0<x<d: \vec{E}_1 aponta para a esquerda e \vec{E}_2 para a direita, e balanceiam se
\frac{|\mathrm{Q}_1|}{x^2} \;=\;\frac{|\mathrm{Q}_2|}{(d-x)^2}.
Tomando raiz em ambos os lados:
\frac{\sqrt{|\mathrm{Q}_1|}}{x} = \frac{\sqrt{|\mathrm{Q}_2|}}{d-x} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{d\,\sqrt{|\mathrm{Q}_1|}}{\sqrt{|\mathrm{Q}_1|} + \sqrt{|\mathrm{Q}_2|}} = \frac{0{,}20\cdot3}{3+2} = 0{,}12\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) \displaystyle \vec{E} \approx -4{,}49\times10^3\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N/C} (para a esquerda).
b) \displaystyle \vec{F} \approx -8,99\times10^{-3}\,\hat{\mathbf{i}}\\ \mathrm{N} (para a esquerda).
c) A 0{,}12\\ \mathrm{m} de \mathrm{Q}_1 (ou 0{,}08\\ \mathrm{m} de \mathrm{Q}_2), medido ao longo do segmento que as une.

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