1. Faixa cilíndrica circular A porção do cilindro x^{2}+z^{2}=10 entre os planos y=-1 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da superfície lateral (faixa cilíndrica circular) do cilindro
x^{2}+z^{2}=10
entre os planos y=-1 e y=1.
Conteúdo: parametrização de superfícies por coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Para descrever a circunferência de raio \sqrt{10} no plano xz, introduzimos o parâmetro \theta\in[0,2\pi] e usamos
x = \sqrt{10}\,\cos\theta, \qquad z = \sqrt{10}\,\sin\theta.

Passo 3

Como a coordenada y varia livremente entre -1 e 1, adotamos um segundo parâmetro v\in[-1,1] tal que
y = v.

Passo 4

Combinando os dois parâmetros, obtemos a parametrização da faixa cilíndrica:
\mathbf{r}(\theta,v) = \bigl(\sqrt{10}\cos\theta,\;v,\;\sqrt{10}\sin\theta\bigr),
com domínio
0 \le \theta \le 2\pi, \qquad -1 \le v \le 1.

Resposta

\mathbf{r}(\theta,v) = \bigl(\sqrt{10}\cos\theta,\;v,\;\sqrt{10}\sin\theta\bigr), \quad 0 \le \theta \le 2\pi, \; -1 \le v \le 1.

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