Se \mathbf{F}=M \mathbf{i}+N \mathbf{j}+P \mathbf{k} é um campo vetorial diferenciável, definimos a notação \mathbf{F} \cdot \nabla para significar
M \frac{\partial}{\partial x}+N \frac{\partial}{\partial y}+P \frac{\partial}{\partial z} .
Para campos vetoriais diferenciáveis \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2}, verifique as identidades a seguir.
\nabla\left(\mathbf{F}_{1} \cdot \mathbf{F}_{2}\right)=\left(\mathbf{F}_{1} \cdot \nabla\right) \mathbf{F}_{2}+\left(\mathbf{F}_{2} \cdot \nabla\right) \mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{1} \times\left(\nabla \times \mathbf{F}_{2}\right)+ \mathbf{F}_{2} \times\left(\nabla \times \mathbf{F}_{1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade vetorial
\nabla\bigl(\mathbf{F}_{1}\cdot\mathbf{F}_{2}\bigr) = \bigl(\mathbf{F}_{1}\cdot\nabla\bigr)\mathbf{F}_{2} + \bigl(\mathbf{F}_{2}\cdot\nabla\bigr)\mathbf{F}_{1} + \mathbf{F}_{1}\times\bigl(\nabla\times\mathbf{F}_{2}\bigr) + \mathbf{F}_{2}\times\bigl(\nabla\times\mathbf{F}_{1}\bigr).
O conteúdo é cálculo vetorial: operadores \nabla, produto escalar, produto vetorial e derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos em componentes
\mathbf{F}_{1}=(M_{1},N_{1},P_{1}),\quad \mathbf{F}_{2}=(M_{2},N_{2},P_{2}),
então
\mathbf{F}_{1}\cdot\mathbf{F}_{2} =M_{1}M_{2}+N_{1}N_{2}+P_{1}P_{2}
e
\nabla\bigl(\mathbf{F}_{1}\cdot\mathbf{F}_{2}\bigr) =\Bigl(\partial_x(M_{1}M_{2}+N_{1}N_{2}+P_{1}P_{2}),\;\dots,\;\dots\Bigr).
Ao derivar em x obtemos
\partial_x(M_{1}M_{2})=M_{1}\,\partial_xM_{2}+M_{2}\,\partial_xM_{1},
e de modo análogo para N_{1}N_{2} e P_{1}P_{2}. Logo o componente i de \nabla(\mathbf{F}_{1}\cdot\mathbf{F}_{2}) é
M_{1x}M_{2}+M_{1}M_{2x} +N_{1x}N_{2}+N_{1}N_{2x} +P_{1x}P_{2}+P_{1}P_{2x},
onde escrevemos M_{1x}=\partial_xM_{1}, etc.

Passo 3

Agora expandimos cada termo do lado direito para o componente i.
  1. (\mathbf{F}_{1}\cdot\nabla)\mathbf{F}_{2}\bigl|_{i} =M_{1}M_{2x}+N_{1}M_{2y}+P_{1}M_{2z}. 2. (\mathbf{F}_{2}\cdot\nabla)\mathbf{F}_{1}\bigl|_{i} =M_{2}M_{1x}+N_{2}M_{1y}+P_{2}M_{1z}. 3. Para \nabla\times\mathbf{F}_{2}=(P_{2y}-N_{2z},\,M_{2z}-P_{2x},\,N_{2x}-M_{2y}),
    \mathbf{F}_{1}\times(\nabla\times\mathbf{F}_{2})\bigl|_{i} =N_{1}(N_{2x}-M_{2y})-P_{1}(M_{2z}-P_{2x}) =N_{1}N_{2x}-N_{1}M_{2y}-P_{1}M_{2z}+P_{1}P_{2x}. 4. Análogo,
    \mathbf{F}_{2}\times(\nabla\times\mathbf{F}_{1})\bigl|_{i} =N_{2}N_{1x}-N_{2}M_{1y}-P_{2}M_{1z}+P_{2}P_{1x}.

Passo 4

Somando os quatro termos do lado direito no componente i temos
\bigl(M_{1}M_{2x}+M_{2}M_{1x}\bigr) +\bigl(N_{1}N_{2x}+N_{2}N_{1x}\bigr) +\bigl(P_{1}P_{2x}+P_{2}P_{1x}\bigr)
mais termos mistos que se cancelam ( +N_{1}M_{2y}-N_{1}M_{2y}, etc.). O resultado coincide exatamente com
\partial_x(M_{1}M_{2}+N_{1}N_{2}+P_{1}P_{2}),
ou seja, com o componente i de \nabla(\mathbf{F}_{1}\cdot\mathbf{F}_{2}). De modo idêntico para as componentes j e k.

Resposta

\nabla\bigl(\mathbf{F}_{1}\cdot\mathbf{F}_{2}\bigr) = \bigl(\mathbf{F}_{1}\cdot\nabla\bigr)\mathbf{F}_{2} + \bigl(\mathbf{F}_{2}\cdot\nabla\bigr)\mathbf{F}_{1} + \mathbf{F}_{1}\times\bigl(\nabla\times\mathbf{F}_{2}\bigr) + \mathbf{F}_{2}\times\bigl(\nabla\times\mathbf{F}_{1}\bigr).

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