Se
é um campo vetorial diferenciável, definimos a notação
para significar
Para campos vetoriais diferenciáveis
e
, verifique as identidades a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade vetorial
O conteúdo é cálculo vetorial: operadores
, produto escalar, produto vetorial e derivadas parciais.
Passo 2
Escrevemos em componentes
então
e
Ao derivar em
obtemos
e de modo análogo para
e
. Logo o componente
de
é
onde escrevemos
, etc.
Passo 3
Agora expandimos cada termo do lado direito para o componente
.
-
2. 3. Para ,
4. Análogo,
Passo 4
Somando os quatro termos do lado direito no componente
temos
mais termos mistos que se cancelam (
, etc.). O resultado coincide exatamente com
ou seja, com o componente
de
. De modo idêntico para as componentes
e
.