) Um dos mais famosos, o Cometa Halley orbita ao redor do Sol e pode ser observado da Terra a cada 76 anos. Considerando a órbita circular (para facilitar as contas) estime:
(2.a) A distância do cometa Halley até o Sol, o raio da sua órbita. (
)
(2.a) A distância do cometa Halley até o Sol, o raio da sua órbita. (
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o Cometa Halley, que é aquele cometa famoso que passa perto da Terra a cada 76 anos. A pergunta é: qual é a distância dele até o Sol, ou seja, o raio da sua órbita? Para resolver isso, vamos usar um pouco de astronomia e física, especificamente a Lei de Kepler do Movimento Planetário, que relaciona o período de órbita de um corpo ao seu raio orbital.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a Lei de Kepler diz que o quadrado do período orbital ($ T
r $). Matematicamente, isso fica:
Isso significa que se a gente conhece o período orbital, dá para encontrar o raio da órbita.
Passo 3
Vamos usar essa relação para resolver o problema. Sabemos que o Cometa Halley tem um período orbital de 76 anos. Queremos encontrar o raio da órbita ($ r $). Vamos considerar a órbita circular para simplificar os cálculos.
Aplicando a proporcionalidade de Kepler:
Onde $ k $ é a constante de proporcionalidade. Para simplificar, podemos usar unidades astronômicas (UA), onde a distância da Terra ao Sol é 1 UA e o período orbital da Terra ($ T_{Terra} $) é 1 ano. Assim, a constante $ k $ fica igual a 1 quando usamos essas unidades.
Passo 4
Com $ k = 1 $, a equação fica:
Substituindo $ T = 76 $ anos:
Calculando $ 76^2 $:
Passo 5
Agora, para encontrar $ r $, precisamos calcular a raiz cúbica de 5776:
Calculando isso, obtemos aproximadamente:
Resposta
O raio da órbita do Cometa Halley é aproximadamente 17,9 unidades astronômicas (UA).