Um fardo de 4,0 \mathrm{~kg} começa a subir um plano inclinado de 30^{\circ} com uma energia cinética de 128 J . Até que distância ele conseguirá deslizar para cima do plano inclinado, se o coeficiente de atrito cinético entre o fardo e o plano for de 0,30 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do fardo: m = 4,0\\ \mathrm{kg}.
    • Energia cinética inicial: K_i = 128\\ \mathrm{J}.
    • Ângulo do plano inclinado: \theta = 30^\circ.
    • Coeficiente de atrito cinético: \mu_k = 0,30.
    • Aceleração da gravidade: usarei g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • O que o problema pede:
    • Determinar até que distância d (ao longo do plano inclinado) o fardo conseguirá subir antes de parar.

Passo 2

Escolha do método e ideia física principal (explicação didática).
  • Método: usar a conservação de energia incluindo o trabalho realizado pela força de atrito. Isso é prático e direto: a energia cinética inicial será dissipada transformando-se em energia potencial gravitacional (elevação) e em trabalho perdido por atrito.
  • Fórmula geral usada (explicação das grandezas):
    • Energia cinética inicial: K_i.
    • Aumento de energia potencial ao subir uma distância d: \Delta U = m g h, onde h é a altura vertical alcançada. No plano inclinado, h = d \sin\theta.
    • Trabalho dissipado por atrito cinético ao longo de d: W_{\text{atrito}} = f_k \, d, onde f_k é a força de atrito cinético.
    • Força de atrito: f_k = \mu_k N. A normal N no plano inclinado é N = m g \cos\theta. Assim f_k = \mu_k m g \cos\theta.
  • Portanto, a energia cinética inicial é gasta em elevar o corpo e em vencer o atrito:
K_i = m g (d \sin\theta) + (\mu_k m g \cos\theta)\, d.
Aqui cada termo significa:
  • m g d \sin\theta: ganho de energia potencial (subir verticalmente).
  • \mu_k m g \cos\theta \, d: trabalho realizado contra o atrito (energia dissipada).
  • d: é a incógnita que queremos achar.

Passo 3

Manipulação algébrica para isolar d.
  • Colocando d em evidência no lado direito:
K_i = m g \big(\sin\theta + \mu_k \cos\theta\big)\, d.
  • Isolando d:
d = \dfrac{K_i}{m g \big(\sin\theta + \mu_k \cos\theta\big)}.
Explicação: dividiu-se ambos os lados por m g (\sin\theta + \mu_k \cos\theta). Todas as quantidades no denominador são positivas aqui, então a divisão é direta.

Passo 4

Avaliação das funções trigonométricas e substituição dos valores simbólicos por numéricos.
  • Valores trigonométricos conhecidos:
    • \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} = 0,5.
    • \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,8660254.
  • Substituindo m, g, \theta, \mu_k e K_i na fórmula:
d = \dfrac{128}{4,0 \times 9,8 \times \big(0,5 + 0,30\times 0,8660254\big)}.

Passo 5

Cálculo passo a passo dos termos numéricos (mostrando as contas).
  • Primeiro calcule \mu_k \cos\theta:
0,30 \times 0,8660254 \approx 0,2598076.
  • Somando com \sin\theta:
0,5 + 0,2598076 = 0,7598076.
  • Agora m g = 4,0 \times 9,8 = 39,2.
  • Produto m g (\sin\theta + \mu_k\cos\theta):
39,2 \times 0,7598076 \approx 29,78\\ (\text{J/m}).
(essa é a taxa de energia necessária por metro subido: joules por metro)
  • Finalmente:
d \approx \dfrac{128}{29,78} \approx 4,30\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida de plausibilidade.
  • Resultado: d \approx 4,30\\ \mathrm{m}.
  • Verificação qualitativa: sem atrito ( \mu_k=0) a distância seria d = K_i/(m g \sin\theta) = 128/(39,2\times0,5) = 128/19,6 \approx 6,53\\ \mathrm{m}. Com atrito \mu_k=0,30 a distância diminui para cerca de 4,30\\ \mathrm{m}, o que faz sentido (o atrito consome parte da energia).

Resposta

4,30\\ \mathrm{m}

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