Uma caixa de massa
é empurrada para cima deslocando-se uma distância
, sobre um plano, cuja inclinação é
acima da horizontal, por uma força paralela ao plano inclinado. A caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante
. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é
e a aceleração da gravidade é
. Determine em função das grandezas (
e
) que se fizerem necessárias,
a energia cinética da caixa, ao fim do deslocamento
.
a energia cinética da caixa, ao fim do deslocamento
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (peguei estes símbolos e a orientação do deslocamento na figura fornecida):
- Dados:
- massa da caixa:
. - deslocamento ao longo do plano inclinado:
. - inclinação do plano em relação à horizontal:
. - coeficiente de atrito cinético:
. - aceleração da gravidade:
. - a caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante
. - existe uma força aplicada
paralela ao plano, empurrando a caixa para cima.
- massa da caixa:
- Pedido:
- determinar a energia cinética da caixa ao fim do deslocamento
, em função das grandezas necessárias.
- determinar a energia cinética da caixa ao fim do deslocamento
Passo 2
Escolha do método e revisão da teoria necessária (explicação didática).
- Método: usar o Teorema Trabalho-Energia (também chamado Teorema do Trabalho da Força Resultante). Esse teorema diz que o trabalho líquido realizado por todas as forças que atuam no corpo é igual à variação da energia cinética do corpo.
- Formulação do teorema:
Aqui é a soma dos trabalhos de todas as forças atuantes e é a energia cinética. - O que é trabalho para uma força constante paralela ao deslocamento:
com sinal positivo se a força tem componente na mesma direção do deslocamento e negativo se tiver componente contrária. - Forças que atuam nesta situação (definir seus módulos e sinais):
- Força aplicada ao longo do plano:
(sentido para cima ao longo do plano). - Peso:
. Componente ao longo do plano que se opõe ao movimento: . - Força normal:
. - Força de atrito cinético (opõe-se ao movimento):
.
- Força aplicada ao longo do plano:
Passo 3
Determinar a força aplicada
usando a segunda lei de Newton (isso facilita calcular o trabalho de
).
- Seguindo o eixo paralelo ao plano, tomando positivo no sentido do movimento (para cima):
- Isolando
: - Comentário intuitivo:
é a soma de três parcelas: a necessária para acelerar com , a necessária para vencer a componente do peso e a necessária para vencer o atrito .
Passo 4
Calcular os trabalhos das forças e o trabalho líquido.
- Trabalho da força aplicada:
- Trabalho do peso (componente ao longo do plano, oposto ao deslocamento para subida):
- Trabalho do atrito (sempre oposto ao deslocamento):
- Trabalho líquido (soma dos três):
Observação importante: os termos que envolvem e cancelam exatamente porque a força foi ajustada (pela relação da 2ª lei) para produzir a aceleração dada.
Passo 5
Aplicar o Teorema Trabalho-Energia para obter a energia cinética final.
- Pelo teorema:
- A caixa parte do repouso, então
. Logo - Substituindo o valor dado
: - Interpretação intuitiva: a energia cinética adquirida depende apenas da massa, do deslocamento e da aceleração imposta; os trabalhos contra peso e atrito foram compensados pelo trabalho extra da força aplicada, de modo que o trabalho líquido é
.