Uma caixa de massa m é empurrada para cima deslocando-se uma distância d, sobre um plano, cuja inclinação é \theta acima da horizontal, por uma força paralela ao plano inclinado. A caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante a=0,2 \mathrm{~g}. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é \mu_{c} e a aceleração da gravidade é g. Determine em função das grandezas ( m, d, \theta, \mu_{c} e g ) que se fizerem necessárias,
a energia cinética da caixa, ao fim do deslocamento d.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei estes símbolos e a orientação do deslocamento na figura fornecida):
  • Dados:
    • massa da caixa: m.
    • deslocamento ao longo do plano inclinado: d.
    • inclinação do plano em relação à horizontal: \theta.
    • coeficiente de atrito cinético: \mu_{c}.
    • aceleração da gravidade: g.
    • a caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante a=0,2\,g.
    • existe uma força aplicada \vec{F} paralela ao plano, empurrando a caixa para cima.
  • Pedido:
    • determinar a energia cinética da caixa ao fim do deslocamento d, em função das grandezas necessárias.

Passo 2

Escolha do método e revisão da teoria necessária (explicação didática).
  • Método: usar o Teorema Trabalho-Energia (também chamado Teorema do Trabalho da Força Resultante). Esse teorema diz que o trabalho líquido realizado por todas as forças que atuam no corpo é igual à variação da energia cinética do corpo.
  • Formulação do teorema: W_{\text{líquido}}=\Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.íAqui W_{\text{líquido}}í é a soma dos trabalhos de todas as forças atuantes e K=\tfrac{1}{2}mv^{2} é a energia cinética.
  • O que é trabalho para uma força constante paralela ao deslocamento: W = F_{\parallel}\,d,com sinal positivo se a força tem componente na mesma direção do deslocamento e negativo se tiver componente contrária.
  • Forças que atuam nesta situação (definir seus módulos e sinais):
    • Força aplicada ao longo do plano: F (sentido para cima ao longo do plano).
    • Peso: \vec{P}=m\vec{g}. Componente ao longo do plano que se opõe ao movimento: m g \sin\theta.
    • Força normal: N=m g \cos\theta.
    • Força de atrito cinético (opõe-se ao movimento): f=\mu_{c}N=\mu_{c}m g \cos\theta.

Passo 3

Determinar a força aplicada F usando a segunda lei de Newton (isso facilita calcular o trabalho de F).
  • Seguindo o eixo paralelo ao plano, tomando positivo no sentido do movimento (para cima): \sum F_{\parallel}=m a \quad\Rightarrow\quad F - m g \sin\theta - \mu_{c} m g \cos\theta = m a.
  • Isolando F: F = m a + m g \sin\theta + \mu_{c} m g \cos\theta.
  • Comentário intuitivo: F é a soma de três parcelas: a necessária para acelerar m com a, a necessária para vencer a componente do peso m g \sin\theta e a necessária para vencer o atrito \mu_{c}m g\cos\theta.

Passo 4

Calcular os trabalhos das forças e o trabalho líquido.
  • Trabalho da força aplicada: W_{F} = F\,d = \bigl(m a + m g \sin\theta + \mu_{c} m g \cos\theta\bigr)d.
  • Trabalho do peso (componente ao longo do plano, oposto ao deslocamento para subida): W_{\text{peso}} = -\,m g \sin\theta \; d.
  • Trabalho do atrito (sempre oposto ao deslocamento): W_{\text{atrito}} = -\,\mu_{c} m g \cos\theta \; d.
  • Trabalho líquido (soma dos três): \begin{aligned} W_{\text{líquido}} &= W_{F}+W_{\text{peso}}+W_{\text{atrito}} \\\ &= \bigl(m a + m g \sin\theta + \mu_{c} m g \cos\theta\bigr)d - m g \sin\theta \, d - \mu_{c} m g \cos\theta \, d \\\ &= m a \, d. \end{aligned}íObservação importante: os termos que envolvem \sin\theta e \mu_{c}\cos\theta cancelam exatamente porque a força F foi ajustada (pela relação da 2ª lei) para produzir a aceleração dada.

Passo 5

Aplicar o Teorema Trabalho-Energia para obter a energia cinética final.
  • Pelo teorema: \Delta K = W_{\text{líquido}}.í
  • A caixa parte do repouso, então K_{\text{inicial}}=0. Logo K_{\text{final}} = W_{\text{líquido}} = m a \, d.í
  • Substituindo o valor dado a=0,2\,g: K_{\text{final}} = m\,(0,2\,g)\,d = 0,2\,m g d.
  • Interpretação intuitiva: a energia cinética adquirida depende apenas da massa, do deslocamento e da aceleração imposta; os trabalhos contra peso e atrito foram compensados pelo trabalho extra da força aplicada, de modo que o trabalho líquido é m a d.

Resposta

K = m a d
K = 0,2\,m g d

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