O fasor V=50 \angle-45^{\circ} V corresponde a qual expressão no tempo?
a) v(t)=50 \cos \left(\omega t+45^{\circ}\right)
b) v(t)=50 \cos \left(\omega t-45^{\circ}\right)
c) v(t)=50 \operatorname{sen}\left(\omega t-45^{\circ}\right)
d) v(t)=50 \operatorname{sen}\left(\omega t+45^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá o fasor V=50\angle -45^\circ\\ \text{V} e pergunta qual expressão no domínio do tempo corresponde a esse fasor, oferecendo as alternativas:
a) v(t)=50 \cos \left(\omega t+45^{\circ}\right)
b) v(t)=50 \cos \left(\omega t-45^{\circ}\right)
c) v(t)=50 \operatorname{sen}\left(\omega t-45^{\circ}\right)
d) v(t)=50 \operatorname{sen}\left(\omega t+45^{\circ}\right)
Informações relevantes dadas:
  • Magnitude do fasor: 50.
  • Ângulo do fasor: -45^\circ.
  • Queremos a expressão no tempo v(t) associada ao fasor acima (assumindo referência padrão senoidal com frequência angular \omega).

Passo 2

Entendendo o que um fasor representa (aula curta e prática):
  • Um fasor \;V = V_m \angle \varphi\; representa uma senoide estacionária de mesma frequência cujo “pico” e “fase” são dados por V_m e \varphi.
  • A convenção mais comum é associar o fasor à função cosseno de pico V_m com fase \varphi:
v(t) = V_m \cos\big(\omega t + \varphi\big).
Aqui:
  • V_m é a amplitude (valor de pico) da tensão, em volts.
  • \omega é a frequência angular (rad/s).
  • \varphi é a fase em graus (ou radianos); se \varphi for negativo, a onda está defasada para “trás” (atrasada) em relação à referência.
    Essa é a fórmula padrão que vamos usar para converter fasor → domínio do tempo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao fasor dado:
  • Tem-se V_m = 50 e \varphi = -45^\circ.
    Substituindo em \;v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi)\; obtemos
v(t)=50\cos\big(\omega t - 45^\circ\big).
Isso já mostra que a alternativa (b) coincide diretamente com a conversão padrão do fasor.

Passo 4

Explicando a relação seno ↔ cosseno (por que pode surgir confusão com alternativas em sen):
  • Recorde a identidade trigonométrica (fácil e muito útil):
\sin(\theta)=\cos\big(\theta-90^\circ\big).
  • Use essa identidade para comparar expressões em seno com expressões em cosseno.

Passo 5

Verificando cada alternativa com identidades, para garantir que não há outra equivalente:
  • Alternativa (b): 50\cos(\omega t-45^\circ). Já obtivemos isso diretamente do fasor — é correta segundo a convenção usada.
  • Alternativa (d): 50\operatorname{sen}(\omega t+45^\circ).
    Aplicando a identidade \sin(\theta)=\cos(\theta-90^\circ) com \theta=\omega t+45^\circ: 50\operatorname{sen}(\omega t+45^\circ)=50\cos\big((\omega t+45^\circ)-90^\circ\big)=50\cos(\omega t-45^\circ).Portanto (d) é algebraicamente idêntica a (b).
  • Alternativa (a): 50\cos(\omega t+45^\circ) é diferente de 50\cos(\omega t-45^\circ); corresponde a fase +45^\circ, não -45^\circ.
  • Alternativa (c): 50\operatorname{sen}(\omega t-45^\circ). Usando a identidade: 50\operatorname{sen}(\omega t-45^\circ)=50\cos\big((\omega t-45^\circ)-90^\circ\big)=50\cos(\omega t-135^\circ),que também não é igual a 50\cos(\omega t-45^\circ).

Passo 6

Conclusão e observação prática:
  • Pelo procedimento padrão de conversão fasor → domínio do tempo com cosseno de referência, a expressão é 50\cos(\omega t-45^\circ).
  • A alternativa (d) também representa a mesma função porque \sin(\omega t+45^\circ)=\cos(\omega t-45^\circ). Logo (b) e (d) são equivalentes numericamentes — o que explica a aparente ambiguidade da prova (mas matematicamente ambas corretas).

Resposta

b) v(t)=50 \cos \left(\omega t-45^{\circ}\right)
d) v(t)=50 \operatorname{sen}\left(\omega t+45^{\circ}\right)

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