Uma reatância indutiva de 20 \Omega é submetida a uma tensão senoidal de \mathrm{v}(\mathrm{t})=40 \cos (200 \mathrm{t}). Qual a corrente no indutor?
a) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2 \cos \left(200 \mathrm{t}-90^{\circ}\right)
b) \mathrm{i}(\mathrm{t})=4 \cos \left(200 \mathrm{t}+90^{\circ}\right)
c) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2 \operatorname{sen}\left(200 \mathrm{t}-90^{\circ}\right)
d) \mathrm{i}(\mathrm{t})=0,5 \cos \left(200 \mathrm{t}-90^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá:
\text{reatância indutiva } X_{L}=20\\ \Omegaâ
\text{tensão aplicada } v(\mathrm{t})=40\cos\bigl(200\mathrm{t}\bigr)ã
Pergunta: qual é a corrente no indutor, entre as opções fornecidas?

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para um indutor ideal, a relação no domínio do tempo entre a tensão e a corrente é
v_{L}(\mathrm{t})=L\frac{d\,i(\mathrm{t})}{d\mathrm{t}}.
Isto significa que a tensão no indutor é proporcional à derivada temporal da corrente; portanto, a corrente fica defasada em relação à tensão. Outra forma muito usada (e mais direta aqui) é o método fasorial/impedância: a impedância de um indutor é
Z_{L}=j\omega L=jX_{L},
onde \omega é a pulsação (rad/s), L é a indutância (H) e X_{L}=\omega L é a reatância (Ω). Em fasores, vale
\underline{V}=\underline{I}\,Z_{L}\quad\Rightarrow\quad \underline{I}=\frac{\underline{V}}{Z_{L}}.
Dividir por j introduz uma defasagem de -90^\circ (porque 1/j=-j e -j é um fasor de ângulo -90^\circ). Vou usar ambos os caminhos (equação diferencial e fasor) para ser didático e mostrar que dão o mesmo resultado.

Passo 3

Calcular a indutância L a partir de X_{L} e \omega. A pulsação da tensão dada é
\omega=200\\ \text{rad/s}
e foi dado X_{L}=20\\ \Omega. Como X_{L}=\omega L, temos
L=\frac{X_{L}}{\omega}=\frac{20}{200}=0{,}1\\ \text{H}.

Passo 4

Resolução pelo método da equação diferencial (passo a passo):
Usando v_{L}(\mathrm{t})=L\frac{d\,i(\mathrm{t})}{d\mathrm{t}}, substituímos v_{L}(\mathrm{t})=40\cos(200\mathrm{t}) e L=0{,}1:
40\cos(200\mathrm{t})=0{,}1\frac{d\,i(\mathrm{t})}{d\mathrm{t}}.
Isolando a derivada:
\frac{d\,i(\mathrm{t})}{d\mathrm{t}}=\frac{40}{0{,}1}\cos(200\mathrm{t})=400\cos(200\mathrm{t}).
Integrando em relação a \mathrm{t}:
i(\mathrm{t})=\int 400\cos(200\mathrm{t})\,d\mathrm{t}=400\cdot\frac{1}{200}\sin(200\mathrm{t})+C=2\sin(200\mathrm{t})+C.
Explicação sobre a constante C: C representa condições iniciais / transientes. Em regime senoidal estacionário (que é o caso usual de problemas assim), desprezamos transientes e tomamos C=0. Portanto, a corrente em regime permanente é
i(\mathrm{t})=2\sin(200\mathrm{t}).
Agora use uma identidade para escrever em cosseno com defasagem: \sin(\theta)=\cos(\theta-90^\circ). Assim
i(\mathrm{t})=2\cos\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr).
Já temos uma forma que aparece entre as alternativas.

Passo 5

Resolução pelo método fasorial (mais curto e muito usado em provas):
Representamos a tensão de pico como fasor \underline{V}=40\angle 0^\circ (porque 40\cos(200\mathrm{t}) tem fase zero).
A impedância do indutor é Z_{L}=jX_{L}=j20.
O fasor da corrente é
\underline{I}=\frac{\underline{V}}{Z_{L}}=\frac{40\angle 0^\circ}{j20}=\frac{40}{20}\cdot\frac{1}{j}=2\cdot(-j)=2\angle(-90^\circ).
Voltando ao tempo (valor de pico):
i(\mathrm{t})=2\cos\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr).
Isso é consistente com o resultado da integração. Observação didática: o ângulo -90^\circ indica que a corrente atrasa a tensão em 90^\circ, que é a propriedade de um indutor (tensão à frente da corrente).

Passo 6

Comparação com as alternativas dadas:
a) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2\cos\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr) — corresponde ao resultado obtido.
b) \mathrm{i}(\mathrm{t})=4\cos\bigl(200\mathrm{t}+90^\circ\bigr) — magnitude errada e sinal de defasagem invertido.
c) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2\operatorname{sen}\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr) — diferente: usando identidades, \sin(\theta-90^\circ)=-\cos\theta, não é equivalente.
d) \mathrm{i}(\mathrm{t})=0{,}5\cos\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr) — magnitude errada.
Portanto a alternativa correta é a letra a).

Resposta

a) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2\cos\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr)

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