Uma reatância indutiva de 20 \Omega é submetida a uma tensão senoidal de \mathrm{v}(\mathrm{t})=40 \cos (200 \mathrm{t}). Qual a corrente no indutor?
a) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2 \cos \left(200 \mathrm{t}-90^{\circ}\right)
b) \mathrm{i}(\mathrm{t})=4 \cos \left(200 \mathrm{t}+90^{\circ}\right)
c) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2 \operatorname{sen}\left(200 \mathrm{t}-90^{\circ}\right)
d) \mathrm{i}(\mathrm{t})=0,5 \cos \left(200 \mathrm{t}-90^{\circ}\right)
Isto significa que a tensão no indutor é proporcional à derivada temporal da corrente; portanto, a corrente fica defasada em relação à tensão. Outra forma muito usada (e mais direta aqui) é o método fasorial/impedância: a impedância de um indutor é
Z_{L}=j\omega L=jX_{L},
onde \omega é a pulsação (rad/s), L é a indutância (H) e X_{L}=\omega L é a reatância (Ω). Em fasores, vale
Dividir por j introduz uma defasagem de -90^\circ (porque 1/j=-j e -j é um fasor de ângulo -90^\circ). Vou usar ambos os caminhos (equação diferencial e fasor) para ser didático e mostrar que dão o mesmo resultado.
Passo 3
Calcular a indutância L a partir de X_{L} e \omega. A pulsação da tensão dada é
\omega=200\\ \text{rad/s}
e foi dado X_{L}=20\\ \Omega. Como X_{L}=\omega L, temos
Resolução pelo método da equação diferencial (passo a passo):
Usando v_{L}(\mathrm{t})=L\frac{d\,i(\mathrm{t})}{d\mathrm{t}}, substituímos v_{L}(\mathrm{t})=40\cos(200\mathrm{t}) e L=0{,}1:
Explicação sobre a constante C: C representa condições iniciais / transientes. Em regime senoidal estacionário (que é o caso usual de problemas assim), desprezamos transientes e tomamos C=0. Portanto, a corrente em regime permanente é
i(\mathrm{t})=2\sin(200\mathrm{t}).
Agora use uma identidade para escrever em cosseno com defasagem: \sin(\theta)=\cos(\theta-90^\circ). Assim
Já temos uma forma que aparece entre as alternativas.
Passo 5
Resolução pelo método fasorial (mais curto e muito usado em provas):
Representamos a tensão de pico como fasor \underline{V}=40\angle 0^\circ (porque 40\cos(200\mathrm{t}) tem fase zero).
A impedância do indutor é Z_{L}=jX_{L}=j20.
O fasor da corrente é
Isso é consistente com o resultado da integração. Observação didática: o ângulo -90^\circ indica que a corrente atrasa a tensão em 90^\circ, que é a propriedade de um indutor (tensão à frente da corrente).
Passo 6
Comparação com as alternativas dadas:
a) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2\cos\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr) — corresponde ao resultado obtido.
b) \mathrm{i}(\mathrm{t})=4\cos\bigl(200\mathrm{t}+90^\circ\bigr) — magnitude errada e sinal de defasagem invertido.
c) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2\operatorname{sen}\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr) — diferente: usando identidades, \sin(\theta-90^\circ)=-\cos\theta, não é equivalente.
d) \mathrm{i}(\mathrm{t})=0{,}5\cos\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr) — magnitude errada.
Portanto a alternativa correta é a letra a).
Resposta
a) \mathrm{i}(\mathrm{t})=2\cos\bigl(200\mathrm{t}-90^\circ\bigr)